添付画像の大問９について質問です。
自分で計算したところ、本に記載されている右辺と一部が一致しません。
間違っている部分をご指摘いただけないでしょうか。
途中計算は追って画像を投稿します。
よろしくおねがいいたします。
![]() |
No.45567 - 2017/08/22(Tue) 16:31:23
| ☆ Re: 法単位ベクトル / angel | | | で。これは grad ( grad F=(∂F/∂x,∂F/∂y,∂F/∂z) ) の基本的な性質なので、典型的な示し方になるのかな…と思います。偏微分と全微分の話です。
全微分 dF=∂F/∂x・dx+∂F/∂y・dy+∂F/∂z・dz に対して、
曲面上では F=0 ( 一定 ) のため dF=0
すなわち、曲面上の任意の微小ベクトル(dx,dy,dz)に対し、
内積 (∂F/∂x,∂F/∂y,∂F/∂z)・(dx,dy,dz)=0
これは、(∂F/∂x,∂F/∂y,∂F/∂z) が曲面に対する法線ベクトルであることに他ならない。
こんな感じです。
P.S.以前の45518に対する回答内容に指摘事項がありましたので追加しています。お気づきでなければ念のため
|
No.45579 - 2017/08/22(Tue) 19:59:35 |
| ☆ Re: 法単位ベクトル / angel | | | > 「同一視してしまった」ということの意味と、その問題点についてもう少し詳し目にお願いできますでしょうか。理解力不足で申し訳在りません。
あー…。すいません、ちょっとそこは不適切だったかも知れません。確かに z を同一視するやり方はありますね。書き方としては次のようなものが考えられます。
ただし前提として、「曲面F(x,y,z)=0 の高さ z が x,y の関数で表せる」ものとします。
全微分 dF=∂F/∂x・dx+∂F/∂y・dy+∂F/∂z・dz において
曲面上では dF=0, dz=∂z/∂x・dx+∂z/∂y・dy より
0=∂F/∂x・dx+∂F/∂y・dy+∂F/∂z・(∂f/∂x・dx+∂f/∂y・dy)
⇔ (∂F/∂x+∂F/∂z・∂z/∂x)dx + (∂F/∂y+∂F/∂z・∂z/∂y)dy = 0
今度は「曲面上の任意の(dx,dy,dz)で」ではなく、単に「任意の(dx,dy)で」なので、ここから
∂F/∂x+∂F/∂z・∂z/∂x=0
∂F/∂y+∂F/∂z・∂z/∂y=0
で、先に出していた法線ベクトル (-∂z/∂x,-∂z/∂y,1) を ∂F/∂z倍すると、
∂F/∂z・(-∂z/∂x,-∂z/∂y,1)
=(-∂F/∂z・∂z/∂x,-∂F/∂z・∂z/∂y,∂F/∂z)
=(∂F/∂x,∂F/∂y,∂F/∂z)
ということで、(∂F/∂x,∂F/∂y,∂F/∂z)が法線ベクトルと分かります。
P.S.45518にも回答を追記しています
|
No.45592 - 2017/08/22(Tue) 23:09:03 |
|
