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記事No.45652に関するスレッドです
★ 図形と最大・最小　対称図形 / シンヤン
参考書から分からないところがあり、質問いたします。

問題は
4点　O(0,0),A(2,0),B(2,2),C(0,2)を頂点とする正方形をQとする。次の条件を満たすxy平面のPの存在範囲を図示せよ。
(条件)　点Pを通り、Qの面積4を1と3に切り分けるような直線を引くことができない。

解答は

点P(x,y)を通る直線でQを切り分けたときの、大きくない方を面積Sとする。

[1]
PがQの周または外部にあるとき、0≦面積S≦2となり、(面積Sが連続的に変化することから、どこかで面積S=1となるので)不適。

[2]
PがQの内部にあるとき。Qの対称性から 0<x≦1,0<y≦1 とし、Pを通る直線とx軸、y軸との交点をR,点Sとすると、面積Sの最大値は2(直線が点(1,1)を通るとき)、面積Sの最小値は2xy(PR=PSのとき[左図])。よって2xy≦面積S≦2　となり、2xy>1　であれば面積Sが1になることはない。以上から求める存在範囲は
領域{(x,y)|0<x≦1,0<y≦1,2xy>1} および、この領域をx=1,y=1(1,1)に関して対象移動した領域。[右図]ただし、境界線上の点を含まない。

質問は、
面積Sの最小値は面積Sの最小値は2xy(PR=PSのとき)
とありますが、どうして最小値は2xyとなるのか。PR=PSのときでないと、最小値になりえないということでしょうか。他の場合は無いのでしょうか。解答でいきなり「面積Sの最小値は2xy(PR=PSのとき[左図])」と書いてあり、その理由を知りたいのです。

よろしくお願いします。
No.45652 - 2017/08/27(Sun) 12:35:57
☆ Re: 図形と最大・最小　対称図形 / IT
まず　直観的な説明

直線ＳＰＲをＰを中心に時計回りに回転したとき、
面積Ｓは、ＰＲに比例して減少する部分と、ＰＳに比例して増加する部分がありますから　
　ＰＲ＞ＰＳ　の間は、面積Ｓは減少し、
　ＰＲ＜ＰＳ　の間は、面積Ｓは増加します。
No.45653 - 2017/08/27(Sun) 13:04:25
☆ Re: 図形と最大・最小　対称図形 / IT
直線ＳＰＲの傾きを-m(m>0)とすると
面積S＝xy+(1/2)(mx)x+(1/2)(y/m)y
=xy+(1/2)(mx^2+(y^2)/m) です.

ここで相加相乗平均の関係から mx^2+(y^2)/m≧xy,等号はmx^2=(y^2)/mのとき　になります。
No.45654 - 2017/08/27(Sun) 13:26:48
☆ Re: 図形と最大・最小　対称図形 / シンヤン
ご回答、ありがとうございました。

面積S＝xy+(1/2)(mx)x+(1/2)(y/m)y
これについてご説明をお願いします。

xyはPと原点からなる四角形の面積で、
(1/2)(mx)x+(1/2)(y/m)y
これが残りの三角形の面積ですが、
(1/2)*(傾き * x座標) * x座標でどうして三角系の面積になるのか分かりません。
No.45655 - 2017/08/27(Sun) 14:30:31
☆ Re: 図形と最大・最小　対称図形 / IT
図に補助線（点Ｐからｘ軸、ｙ軸への垂線）を入れて　考えてみてください。（自分で手を動かしてみないと理解は進みません）

三角形の面積＝(1/2)×底辺の長さ×高さ　です。
No.45656 - 2017/08/27(Sun) 14:50:15
☆ Re: 図形と最大・最小　対称図形 / シンヤン
分かりました。
ありがとうございました。

>ここで相加相乗平均の関係から mx^2+(y^2)/m≧xy,等号はmx^2=(y^2)/mのとき　になります。

これは、
(1/2)mx^2+(y^2)/m≧xy
ではありませんか？
No.45657 - 2017/08/27(Sun) 16:05:19
☆ Re: 図形と最大・最小　対称図形 / シンヤン
先の投稿を訂正
(1/2)(mx^2+(y^2)/m)≧xy
これでないかと思うのですが。
No.45658 - 2017/08/27(Sun) 16:12:09
☆ Re: 図形と最大・最小　対称図形 / IT
そうですね。
No.45659 - 2017/08/27(Sun) 16:47:07