[ 掲示板に戻る ]
記事No.45770に関するスレッドです
★ 証明 / アバ
整数の証明問題であまりで分類すればできるんですけど、これを帰納法でとかのが写真の途中でとまってしまいできません。わかる人がいたら教えてください。
No.45770 - 2017/09/05(Tue) 23:00:06
☆ Re: 証明 / ヨッシー
最後から２行目の式で
　k^7−k
は、42の倍数なので、残りの
　7(k^6＋3k^5＋5k^4＋5k^3＋3k^2＋k)
が42の倍数であることを示し、結局は
　k^6＋3k^5＋5k^4＋5k^3＋3k^2＋k
が６の倍数であることを示します。
No.45773 - 2017/09/06(Wed) 07:46:54
☆ Re: 証明 / アバ
その先が知りたいんです。
No.45779 - 2017/09/06(Wed) 21:48:39
☆ Re: 証明 / らすかる
連続する3数の積は6の倍数であり、
k^6+3k^5+5k^4+5k^3+3k^2+k
=k(k+1)(k+2)(k^3+k+1)+(k-1)k(k+1)(2k+1)
ですから、k^6+3k^5+5k^4+5k^3+3k^2+kは6の倍数です。
No.45780 - 2017/09/06(Wed) 22:30:22
☆ Re: 証明 / アバ
2行目から3行目の因数分解をもっと詳しく教えてください。
No.45794 - 2017/09/07(Thu) 23:25:41
☆ Re: 証明 / ヨッシー
らすかるさんの方法に気づかないときは、
２で割ったあまり、３で割ったあまりで場合分けして、
示すのが一般的で、これでも、７についてのあまりを
調べなくて済む分大分楽になっています。

らすかるさんの方法ですが、方針は
３つの連続した積を作ることです。
k^6+3k^5+5k^4+5k^3+3k^2+k
=k(k+1)(k^4+2k^3+3k^2+2k+1)
ここまでは因数定理でいけますが、この先
=k(k+1)(k^2+k+1)^2
としてしまっては、方針が果たせません。

k(k+1) までは見えているので、この先の目標は
　k(k+1)(k+2) または (k-1)k(k+1)
の項を作ることです。
　
(k^4+2k^3+3k^2+2k+1)÷(k+2)=k^3+3k-4 あまり 9
より、
　k^4+2k^3+3k^2+2k+1＝(k+2)(k^3+3k-4)＋9
となります。
　9＝3{(k+2)−(k-1)}
ですので、
　k^4+2k^3+3k^2+2k+1＝(k+2)(k^3+3k-4)＋3{(k+2)−(k-1)}
　＝(k+2)(k^3+3k-1)−3(k-1)
よって、
k^6+3k^5+5k^4+5k^3+3k^2+k
＝k(k+1)(k+2)(k^3+3k-1)−3(k-1)k(k+1)
これも１つの表し方で、あとは、
　(k^3+3k-1) に k-1 を数回足す(引く)
　3 に k+2 を同じ数だけ足す(引く)
を行った、
　k(k+1)(k+2)(k^3+4k-2)−(k-1)k(k+1)(k+5) １回ずつ足した
　k(k+1)(k+2)(k^3+5k-3)−(k-1)k(k+1)(2k+7) ２回ずつ足した
　k(k+1)(k+2)(k^3+2k)−(k-1)k(k+1)(-k+1) １回ずつ引いた
　k(k+1)(k+2)(k^3+k+1)−(k-1)k(k+1)(-2k-1) １回ずつ引いた
など、いろんな表し方があります。
No.45797 - 2017/09/08(Fri) 09:42:42