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記事No.45772に関するスレッドです
★ 一様分布の確率密度関数 / さいう
(問)確率変数X1,X2,X3が独立に一様分布U(-1,1)に従うとき、S2=X1＋X2およびS3=X1+X2+X3の密度関数を求めよ。

S2の密度関数は求めることができましたが、S3の密度関数の求め方がわかりません。
解らない点を以下にまとめておきます。
・なぜ、ｚを-3<=z=<-1,-1<=z=<1,1<=z=<3に場合分けするのか
・ｚを場合分けしたときの積分範囲の決め方

解答は画像のようになります。

どうぞよろしくお願い致します。
No.45771 - 2017/09/05(Tue) 23:51:28
☆ Re: 一様分布の確率密度関数 / さいう
解答です。
No.45772 - 2017/09/05(Tue) 23:54:36
☆ Re: 一様分布の確率密度関数 / 黄桃
S2の密度関数g(y)を求める時と同じ考え方をしています。

積分範囲は形式的には-∞から∞までです。
ただし、ほとんどの区間で f(z-y)g(y)が0になるので、
0にならない区間だけで積分すればいい、
ということで、
f(z-y)g(y)が0にならない区間、つまり、 f(z-y)もg(y)も0にならない区間
を求めているのです。

もしわからないのであれば、h(z)を求めるのですから、zとして具体的に-100, -2, 0, 1, 3 あたりを代入して h(z)がどうなるか計算してみてください。
z=-100 なら、f(-100-y)は、-101≦y≦-99 以外では0, g(y)は-2≦y≦2以外では0、したがって、yがいくつであってもg(y)f(-100-y)は0。
z=-2 なら f(-2-y)は -3≦y≦-1 以外で0, g(y)は-2≦y≦2以外では0、したがって、
-2≦y≦-1 の範囲以外では f(-2-y)g(y)は0．だから、この区間で積分すればいい。
…ということをすべてのzについて考えればいいのです。
考えているうちに　区間-2≦y≦2と区間z-1≦y≦z+1 とが交わる場合について自然と場合分けができるでしょう。
No.45782 - 2017/09/07(Thu) 07:39:04