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記事No.45953に関するスレッドです
★ (No Subject) / 空白
a＞0,bを定数とする。実数tに関する方程式 (a-t+1)e^t+(a-t-1)e^(-t)=b の解の個数を調べよ。
ただしlim[t→∞]te^(-t)=lim[t→-∞]te^t=0は既知としてよい。
を教えて下さい。
No.45942 - 2017/09/18(Mon) 23:32:12
☆ Re: / techi
(a-t+1)e^t+(a-t-1)e^(-t)=b の解の個数を
y=(a-t+1)e^t+(a-t-1)e^(-t) と y=b の交点の個数ととらえます。

f(t)=(a-t+1)e^t+(a-t-1)e^(-t) とおいて、y=f(t)のグラフを考えるため、微分して増減表を書きます。
f´(t)=(a-t){e^t-e^(-t)} より、
f´(t)=0 ⇔　t=0,a
（※このとき、a>0に注意して増減表を書きます）

また、lim[t→∞]te^(-t)=lim[t→-∞]te^t=0を使って、
lim[t→-∞]f(t)とlim[t→∞]f(t)を求めると、それぞれ∞、-∞となります。

以上より増減表とグラフの概形は添付ファイルの通りとなります。（汚くてすみません;;）

したがって、y=f(t)とy=bの交点の個数すなわち
(a-t+1)e^t+(a-t-1)e^(-t)=b　の解の個数は、
b>e^a-e^(-a) または b<2a のとき1個
b=e^a-e^(-a), 2a のとき2個
2a<b<e^a-e^(-a) のとき3個
となります。
No.45953 - 2017/09/19(Tue) 17:17:13