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記事No.45980に関するスレッドです
★ 複素数と方程式 / 東大夢見る浪人生
お願いします。
No.45980 - 2017/09/21(Thu) 18:07:37
☆ Re: 複素数と方程式 / IT
(1) はできませんか？ 自力で出来るところまではご自分でやられたほうが有効な回答が得やすいと思います。
No.45981 - 2017/09/21(Thu) 18:09:15
☆ Re: 複素数と方程式 / 東大夢見る浪人生
すみません。(1)はできましたが(2)以降が分かりません。
No.45982 - 2017/09/21(Thu) 18:24:51
☆ Re: 複素数と方程式 / IT
（方針）
(2) は(1)の結果を使います。
P(x)=(x-k)f(x) とすれば、　f(x)=0 がk以外の２つの異なる実数解を持てばよいです。（必要十分）

(3) ３次関数のグラフが変曲点に関して対称であることを使えば容易です。
（使わなくてもできます。）

P"(x)=6x+2 なので　３次関数y=P(x)のグラフは変曲点(-1/3,P(-1/3)) に関して対称。
したがって、条件を満たすためには
(2)の条件を満たし　かつ P(-1/3)=0であることが必要十分条件です。（ここはグラフなどでの説明が必要）
kについての2次方程式を解き　k=-11/3,-1/3。
No.45983 - 2017/09/21(Thu) 20:39:34
☆ Re: 複素数と方程式 / IT
(3) ３次関数の変曲点の性質を使わない方法。(途中計算など行間は埋めてください）
α＜β＜γとすると、満たすべき条件は、α+γ＝2β…(ア)

(1)の結果は P(x)=(x-k)(x^2+(k+1)x-1)
ここでf(x)=x^2+(k+1)x-1とおく
D=(k+1)^2+4 とおくと,D＞0であり,f(x)=0の解はx=(-(k+1)±√D)/2…(イ)

k=βのとき,
　(ア),(イ)より-(k+1)=2k,よって,k=-1/3. これは(2）を満たす。
k=αのとき
　(ア),(イ)より　k+(-(k+1)+√D)/2=-(k+1)-√D
両辺２倍して移項、3k+1=-3√D　＜0　…(ウ）
k=γのとき
　(ア),(イ)より　(-(k+1)-√D)/2 + k=-(k+1)+√D
両辺２倍して移項、3k+1=3√D　＞0　…(エ）

(ウ),(エ）どちらの場合も　両辺２乗すると
　(3k+1)^2=9D=9(k^2+2k+5)
∴12k=-44 ∴ k=-11/3 これは(ウ）を満たし、(2)も満たす。なお（エ）は満たさない。

以上から求めるk=-1/3,-11/3.

# 直接的には「複素数」が出てきませんね？　どこかの過去問ですか？
No.45996 - 2017/09/23(Sat) 21:58:43