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記事No.45993に関するスレッドです
★ 確率漸化式 / ちぢみ
問1を教えて下さい
⑴から全然分かりません
No.45993 - 2017/09/23(Sat) 20:15:20
☆ Re: 確率漸化式 / 鶏
漸化式の立て方だけ説明します。

ある時刻にPがとどまる確率は1/4ですから、移動する確率は3/4
よって各頂点に3/8ずつの確率で移動します。

p_(n+1)つまりn+1秒後にPがAにいる確率を考えます。
n+1秒後にPがAにいるのは以下の2つのパターンがありますね

(i)n秒後にPがAにいて、その1秒後にAにとどまる場合
(ii)n秒後にPがAにおらず、その1秒後にAに移動してくる場合

(i)のパターンについて
n秒後にPがAにいる確率はp_nで、次にAにとどまる確率は1/4ですから
(i)の確率は(1/4)p_nです。

(ii)のパターンについて
n秒後にPがAにいない確率は(1-p_n)で、次にAに来る確率は3/8ですから
(ii)の確率は(3/8)(1-p_n)です。

(i)と(ii)は排反なので
p_(n+1)=(1/4)p_n+(3/8)(1-p_n)
=(-1/8)p_n+(3/8)
です。

もちろんn秒後にBやCに来る確率をq_n, r_nなどと置く方がわかりやすければそれでも良いです。が、結局同じことに帰着するので面倒です。

(2)は一般的な漸化式の解き方で出ますし、(3)はnを∞にするだけですから大丈夫だと思います。
また(4)は常用対数の問題ですので確率は関係ないです。
わからなければまた質問してみてください。
No.45994 - 2017/09/23(Sat) 21:20:33
☆ Re: 確率漸化式 / ちぢみ
ありがとうございます！とても分かりやすいです
(4)の計算詰まってしまったのですが教えて貰えませんか？
No.45995 - 2017/09/23(Sat) 21:44:34
☆ Re: 確率漸化式 / 鶏
遅くなりました。
(2)のp_n=1/3-(1/12)*(-1/8)^(n-1)
と(3)のp=1/3が出ている前提で話をします
（(2)はまとめ方によっては少し違う形になっているかもしれませんが）

まず絶対値の部分の
|p_n-p|=|(-1/12)*(-1/8)^(n-1)|=|-1/12|*|-1/8|^(n-1)=(1/12)*(1/8)^(n-1)
の変形は大丈夫でしょうか。わからなければnにいろいろ代入してみると良いです。

ここからはやり方は人それぞれかと思いますが、一つの方法として書きます。これが一番楽というわけではないので悪しからず。
実際に紙に書いて手順を追うことを勧めます。
|p_n-p|<5^(-20)ですから
(1/12)*(1/8)^(n-1)<5^(-20)
1/(12*8^(n-1))<1/(5^20)　←（左辺はまとめた。右辺は分数の形にした）
12*8^(n-1)>5^20　←（両辺正なので逆数をとる。不等号は逆に）
2^2*3*(2^3)^(n-1)>(10/2)^20　←（log10_2とlog10_3が与えられているので、2と3と10の累乗の形に変形）
2^2*3*(2^3(n-1)) >(10/2)^20　←（左辺を指数法則で変形）

そろそろ両辺常用対数を取りましょうか。
log10_{2^2*3*(2^3(n-1))}>log10_{(10/2)^20}
左辺は
log10_(2^2)+ log10_3+ log10_(2^3(n-1))　←（対数法則で変形）
=2 log10_2+ log10_3+3(n-1) log10_2　←（さらに変形）
=(3n-1) log10_2+ log10_3　←（まとめる）

右辺は
20 log10_(10/2) 　←（対数法則で変形）
=20(log10_10- log10_2)　←（さらに変形）
=20(1- log10_2)　←（log10_10=1）

よって
(3n-1) log10_2+ log10_3>20(1- log10_2)
(3n+19) log10_2>20- log10_3

あとは与えられた数値を入れて計算したら大丈夫ですかね。
No.46002 - 2017/09/23(Sat) 23:06:52