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記事No.46016に関するスレッドです
★ 高校数学です / m(_ _)m
△ABCにおいて、AB＝3,AC＝2,∠CAB＝60°とし、∠CABの2等分線と辺BCとの交点をDとする。このとき、線分ADの長さを求めよ。

この問題の解答を見ると、AD＝xとおいて△ABC＝△ABD＋△ADCを利用していました。
が、実は私はこの解法ではなくAD＝xとおいてBDとCDをxを使って余弦定理で出した後、ADが∠CABの2等分線なのでBD:CD＝3:2という関係を利用してお互いを＝の式にしてxを出していました。
解答の答えが6√3／5で、私が出した答えが√6でした。
自分の解法のどこまでがあっていて、どこが違うのかが見つけられず困っています。よろしくお願いします。
No.46010 - 2017/09/24(Sun) 04:00:21
☆ Re: 高校数学です / らすかる
BD^2=AB^2+AD^2-2AB・AD・(√3/2)=x^2-(3√3)x+9
CD^2=AC^2+AD^2-2AC・AD・(√3/2)=x^2-(2√3)x+4
BD^2：CD^2=9：4 から 4BD^2=9CD^2 なので
4{x^2-(3√3)x+9}=9{x^2-(2√3)x+4}
4x^2-(12√3)x+36=9x^2-(18√3)x+36
4x-(12√3)=9x-(18√3)
5x=6√3
∴x=6√3/5
No.46011 - 2017/09/24(Sun) 05:58:48
☆ Re: 高校数学です / m(_ _)m
ありがとうございますm(_ _)m
No.46015 - 2017/09/24(Sun) 12:36:38
☆ 参考: 別解 / angel
参考まで、方程式を使わず直接的に計算する方法もあります。

添付の図は、「ADが∠Aの2等分線である時にAB:AC=BD:BC」を証明する際に描くものですが…。( △ABE, △ACF は相似な直角三角形 )

AE=AB・cos(A/2)=3√3/2, AF=AC・cos(A/2)=√3
ED:FD=3:2 であることからADを計算することができます。

一般化すると AD=2AB・AC/(AB+AC)・cos(A/2) ですが、まあこれは覚えるものでもないでしょう
No.46016 - 2017/09/24(Sun) 15:19:29