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記事No.46097に関するスレッドです
★ レムニスケート(式と曲線) / さとし
この(3)のやり方を解説してもらいたいです。答えは√3/16です。お願いします。
No.46097 - 2017/10/01(Sun) 15:34:49
☆ Re: レムニスケート(式と曲線) / さとし
写真の向きが悪くて申し訳ありません(-人-;)
No.46098 - 2017/10/01(Sun) 15:35:45
☆ Re: レムニスケート(式と曲線) / X
現在の高校数学で極座標を直接使った積分による面積の計算を
教えているという前提で回答しておきます。
(もし学習済みでないのであればその旨をアップして下さい。)

x≧(√6)/4 (A)
の左辺を極座標に変換して
rcosθ≧(√6)/4
0≦θ≦π/4よりcosθ＞0に注意すると
r≧(√6)/(4cosθ)
ここで問題の曲線と(A)の境界線である
直線x=(√6)/4
との交点のθ座標がπ/6(計算は省略します)
であることから積分範囲が
θ:0→π/6
であることに注意して
S=(1/2)∫[0→π/6]{{√(cos2θ)}^2}dθ-(1/2)∫[0→π/4]{(√6)/(4cosθ)}^2}dθ
=(1/2)∫[0→π/6]{cos2θ-3/{8(cosθ)^2}}dθ
=(1/2)[(1/2)sin2θ-(3/8)tanθ][0→π/6]
=(1/16)√3
となります。
No.46101 - 2017/10/01(Sun) 17:58:04
☆ Re: レムニスケート(式と曲線) / さとし
回答ありがとうございます。
そういう積分公式があるのは聞いたことはありました。
回答を見たのですが、r≧√6/4cosΘまでは理解できましたが、それ以降がわかりません。すみません、もう一度よろしいでしょうか。
No.46105 - 2017/10/02(Mon) 14:04:24
☆ Re: レムニスケート(式と曲線) / X
まず問題の曲線である
r=√(cos2θ)
をxy座標に変換すると
(x^2+y^2)^2=x^2-y^2 (P)
となります。
これと(A)の境界線である
x=(√6)/4 (Q)
とをx,yについての連立方程式として解きます。
((Q)を(P)に代入するとyの四次方程式になりますが
y^2=t
と置き換えることでたすき掛けで解くことができます。)
(但し0≦θ≦π/4よりy＞0に注意)
すると
y=1/(2√2)
つまりxy座標での(P)(Q)の交点の座標は
((√6)/4,1/(2√2))
これを再度極座標に変換するとθ座標は
π/6
となります。(これは計算で確かめて下さい)
次に
>>S=(1/2)∫[0→π/6]{{√(cos2θ)}^2}dθ-(1/2)∫[0→π/4]{(√6)/(4cosθ)}^2}dθ
について。
以下極座標で書くと、Sは
曲線r=√(cos2θ),直線θ=0,π/6
で囲まれた図形の面積から
直線rcosθ=(√6)/4(x=(√6)/4のことです)
及び直線θ=0,π/6
で囲まれた図形の面積を引いたものになります。
ここで
rcosθ=(√6)/4
から
r=(√6)/(4cosθ)
となることと極座標における定積分による
面積の公式により、Sは件のような式で
計算できます。
No.46109 - 2017/10/02(Mon) 18:41:04
☆ Re: レムニスケート(式と曲線) / さとし
以下極座標で書くと、Sは
曲線r=√(cos2θ),直線θ=0,π/6
で囲まれた図形の面積から
直線rcosθ=(√6)/4(x=(√6)/4のことです)
及び直線θ=0,π/6
で囲まれた図形の面積を引いたものになります。


の部分がグラフ的にわかりません。
✳すみません、素人で（涙）

よろしければグラフであらわしてもらえませんか？
No.46114 - 2017/10/03(Tue) 10:06:28
☆ Re: レムニスケート(式と曲線) / X
グラフにするとこんな感じになります。
注)直線θ=0とはつまりx軸の正の部分のことです。
No.46126 - 2017/10/03(Tue) 19:09:36
☆ Re: レムニスケート(式と曲線) / さとし
グラフありがとうございます。なんとなくイメージが掴めました！もう一度やってみます！
No.46131 - 2017/10/04(Wed) 08:42:04