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記事No.46176に関するスレッドです
★ これ考えてみたんですけど / のるむ
ある模試の最後の問題がわからなくて投稿しました
解いていただきたいです
No.46176 - 2017/10/07(Sat) 21:18:40
☆ Re: これ考えてみたんですけど / angel
最後、ということは、Pn の x座標が 2√n というところまでは良いですね。

放物線 Cn は y=(x-2√(n-1))(x-2√n) ということなので、
∫[α,β] -(x-α)(x-β)dx = 1/6・(β-α)^3 を覚えているなら、
Sn = 1/6・( 2√n-2√(n-1) )^3 と分かります。まあ覚えてなくても計算すればすぐです。

さてこの 2√n-2√(n-1) という形は 0 に収束する形で、そのままでは扱い辛いため、
　2√n-2√(n-1)
　= (√n+√n-1)/(√n+√(n-1)・(2√n-2√(n-1))
　= 2/(√n+√(n-1))
と変形しておきます。

そうすると、
　√(n^3)・S[n]
　= √(n^3)・1/6・( 2/(√n+√(n-1)) )^3
　= 1/6・( 2√n/(√n+√(n-1)) )^3
　= 1/6・( 2/(1+√(1-1/n)) )^3
　→ 1/6 ( n→∞ )
と答えがでます。
No.46178 - 2017/10/07(Sat) 22:32:22
☆ Re: これ考えてみたんですけど / のるむ
最後の問題というのが大問のお話でしてこの大問全部が分からなかったのです。。すみません。。
No.46179 - 2017/10/07(Sat) 22:39:20
☆ Re: これ考えてみたんですけど / angel
では、(1),(2) まとめて。

点P[n]の座標を (a[n],0) とし、問題文にはないですが P[0]=原点 (0,0) つまり、a[0]=0 としておきます。

放物線 Cn は P[n-1],P[n] を通りますので、y=(x-a[n-1])(x-a[n])
その頂点は ( (a[n-1]+a[n])/2, -(a[n]-a[n-1])^2/4 )
この頂点が y=-1/x^2 ( x＞0 ) 上にあることから

　-(a[n]-a[n-1])^2/4 = -4/(a[n-1]+a[n])^2
　つまり、( a[n]^2-a[n-1]^2 )^2=16, a[n-1]+a[n]＞0

ここから a[n]^2 は a[n]^2-a[n-1]^2=4 の等差数列、結果として a[n]=2√n です。
ということで、P[n]の座標は (2√n,0) となります。
(1)のC[1]については、y=(x-a[0])(x-a[1]) なので y=x(x-2) ですね。
No.46182 - 2017/10/07(Sat) 23:33:15
☆ 微妙なところ / angel
ちなみに
　( a[n]^2-a[n-1]^2 )^2=16, a[n-1]+a[n]＞0
これから a[n]=2√n を説明するところはちょっと微妙で…。
完全に説明しきるのは無理かもしれません。

多分、
　( a[n]^2-a[n-1]^2 )^2 = 16 ( 放物線の頂点の位置の要請により )
　a[n-1]+a[n]＞0 ( 放物線の頂点の x 座標が正 )
　a[n]≠a[n-2] ( C[n-1]とC[n]の交点が1つのみという条件 )
だけ挙げておいて、お茶を濁すしかない感じしますね。
No.46183 - 2017/10/07(Sat) 23:49:37
☆ Re: これ考えてみたんですけど / IT
説明しにくいのは、この問題が不備だからではないでしょうか？

放物線C3 は、１つに定まらないのではないでしょうか？　２つあるような気がしますが、私の問題の読み込み不足かも知れません。

放物線C3: y=(x-(√2+√3))^2-1/(√2+√3)^2 =(x-2√2)(x-2√3)
放物線C3': y=(x-(-1+√2))^2-1/(-1+√2)^2 =(x-2√2)(x+2)
の２つが条件を満たすと思います。
No.46185 - 2017/10/08(Sun) 02:03:56
☆ Re: これ考えてみたんですけど / angel
> 説明しにくいのは、この問題が不備だからではないでしょうか？

少なからずそうなんですが、(3) で「極限」と言っている以上、Cn が限りなく作れるのが前提だとすると、途中でマイナスを選べなくなるんですよね。

つまり、a[0]=0, a[1]=2, a[2]=2√2, a[3]=2√3 ときて、a[4]=-a[2] とすると、今度 a[5]=a[3] とせざるを得ないのですが、それでは不適で、後が続かない。

結局限りなく作れるとしたら、a[n]=2√n しかない、という…。
No.46187 - 2017/10/08(Sun) 07:57:20
☆ Re: これ考えてみたんですけど / IT
> 結局限りなく作れるとしたら、a[n]=2√n しかない、という…。

そこまで解答者（受験生）が忖度する必要はないと思います。

本番でこの問題がこのまま出題されたら（２）でC3が一意に定まらない時点で破綻しており、無効な問題となる可能性が高いと思います。

と書きましたが、微妙ですね。
No.46188 - 2017/10/08(Sun) 08:33:36