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記事No.46274に関するスレッドです
★ (No Subject) / カエル
この問題の解き方と答えがが分かりません。教えてください。よろしくお願いします。グラフがあるとありがたいです。微分の問題だと思います。
No.46274 - 2017/10/14(Sat) 23:25:56
☆ Re: / ヨッシー
(1)
条件を満たすとき、両者を連立させた３次方程式は
　ｍ(ｘ＋ｓ)^2(ｘ−ｔ)＝０　（ｓ＞０）　・・・(i)
となります。ｙを消去すると
　ｘ^3−16x＝−ｘ^3−２ｘ^2＋ａ
　２ｘ^3＋２ｘ^2−１６ｘ−ａ＝０　・・・(ii)
(i) を展開して
　ｍ{ｘ^3＋(２ｓ−ｔ)ｘ^2＋(ｓ^2−2st)−ｓ^2ｔ}
ｍ＝２は確定であり、その他の項の係数を比較すると
　２ｓ−ｔ＝１、ｓ^2−2st＝−８、２ｓ^2ｔ＝ａ
これを、ｓ＞０ の条件下で解くと、
　ｓ＝２、ｔ＝３、ａ＝２４　・・・答え

(2)
このとき、両曲線は
　(−２，２４)で接し、(３，−２１) で交わる。
　ｙ＝ｘ^3−16x　を微分して　ｙ’＝３ｘ^2−１６
ｘ＝−２ を代入して、
　ｙ’＝−４　
より、点（−２，２４）における接線の傾きは　ー４　であり、
求める式は
　ｙ＝−４ｘ＋１６　・・・答え(2)

(3)

グラフは図のようになります。
青が　ｙ＝ｘ^3−16x
赤が　ｙ＝−ｘ^3−２ｘ^2＋２４
直線はｌです。（この問題には関係ありませんが）

求める面積は
　∫[-2〜3]{(−ｘ^3−２ｘ^2＋２４)−(ｘ^3−16x)}dx＝625/6　・・・答え
No.46276 - 2017/10/15(Sun) 00:54:23
☆ Re: / カエル
なぜ(i)のような式ができるんですか？
No.46338 - 2017/10/18(Wed) 11:54:44
☆ Re: / ヨッシー
一般的には、３次方程式
　ｙ＝ａｘ^3＋ｂｘ^2＋ｃｘ＋ｄ＝０
の解をα、β、γ とすると、
　ａｘ^3＋ｂｘ^2＋ｃｘ＋ｄ＝ａ(ｘ−α)(ｘ−β)(ｘ−γ)
と書けます。これは、普通に与えられた３次方程式でも、
２つの３次関数から、ｙを消去して出来た３次方程式でも同じです。
前者は、α、β、γ が、
　ｙ＝ａｘ^3＋ｂｘ^2＋ｃｘ＋ｄ
のグラフとｘ軸との交点のｘ座標となり、
後者は、２つのグラフの交点のｘ座標となります。

「共通接線がある」ということは、上の図のｘ＝−２の部分のように、
両グラフが接していないとダメですから、この点で、３次方程式は重解を持ちます。つまり、αとβが等しくなった、
　ａ(ｘ−α)(ｘ−α)(ｘ−γ)＝ａ(ｘ−α)^2(ｘ−γ)
という形の式です。
（ｘ＋ｓ）の部分は、（ｘ−ｓ）でも良いのですが、その場合は、ｓ＜０ における解を求めることになります。
No.46339 - 2017/10/18(Wed) 13:34:42