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記事No.46410に関するスレッドです
★ (No Subject) / 数学不得意
(2)の解き方がわかりません。解説よろしくお願いします。
No.46410 - 2017/10/21(Sat) 17:19:13
☆ Re: / X
以下、x秒後の点P、Qの移動距離をそれぞれp,qとします。
つまり
p=3x
q=2x

(1)
?@
条件のとき
0≦p≦4×3=12
0≦q≦4×2=8
よって点Pは辺AB上に、点Qは辺BC上に存在しますので
y=(1/2)AP×BQ=(1/2)pq
=3x^2
?A
条件のとき
12=4×3≦p≦6×3=18
8=4×2≦q≦6×2=12
よって点P、Qはいずれも辺BC上に存在しますので
y=(1/2)AB×PQ=(1/2)×12×(BQ-BP)
=6{(p-AB)-q}
=6(3x-12-2x)
=6x-72

(2)
条件のとき
点Pは辺BC上に存在し、かつ点Qは辺CD上に存在
しています。
(注：他の条件では∠APQ,∠AQPのいずれか一方が
直角、又は鈍角になります。)
そこで辺AP,AQをxの式で表すため、それぞれ
△ABP,△ADQに注目します。
条件から
BP=p-AB=3x-12 (A)
となるので△ABPにおいて三平方の定理により
AP^2=AB^2+BP^2=144+(3x-12)^2 (B)
一方
DQ=CD-CQ=CD-(q-BC)
=24-2x (C)
となるので
△ADQにおいて三平方の定理により
AQ^2=AD^2+DQ^2=144+(24-2x)^2 (D)
(B)(D)が等しくなるので
144+(3x-12)^2=144+(24-2x)^2 (E)
これをxの方程式として解きます。
但し、xについてはまだ条件があります。
条件から
0≦BP≦BC=12
0≦DQ≦DA=12
ですので(A)(C)をこれらに代入すると
0≦3x-12≦12 (A)'
0≦24-2x≦12 (C)'
(A)'(C)'はそれぞれ
4≦x≦8 (A)"
6≦x≦12 (C)"
となるので(A)"(C)"を連立して
解いた場合
6≦x≦8 (F)

(E)の解のうち(F)を満たすものが
求める答えとなります。
(続く)
No.46413 - 2017/10/21(Sat) 18:53:24
☆ Re: / X
No.46413の続き)
で、(E)の解法ですが次のように計算すると簡単です。
(両辺を展開してから整理をする方法は
かなり煩雑です。)

(E)より
(3x-12)^2=(2x-24)^2
(3x-12)^2-(2x-24)^2=0
左辺に因数分解の公式である
a^2-b^2=(a-b)(a+b)
を使うと
{(3x-12)-(2x-24)}{(3x-12)+(2x-24)}=0
(x+12)(5x-36)=0
よって(F)より
x=36/5
となります。
No.46414 - 2017/10/21(Sat) 18:59:46
☆ Re: / X
最後に。
(1)の?@?Aは高校受験の問題としては標準的な部類に
入ると思いますので、必ず解ける必要があります。

しかし、(2)についてはNo.46413、46414で
書いた通り、かなり煩雑です。
((1)と難易度を揃えるのであれば、
(F)を導く問題を小問に分けた誘導問題の形式
にすると思われるが、それをわざとせずに
出題しているようにしか見えない。)
No.46417 - 2017/10/21(Sat) 19:19:30
☆ (2) / angel
(2)はあまりきちっと計算しなくとも良いような気もしますが…。

何かの点 ( X とします ) が A→B→C と動くにつれ、AXの長さは大きくなり続けます。
※単調増加、となります。

このことは、辺AB〜辺BC上に何か2点 ( X,Y とします ) あった場合、X,Y が一致しなければ AX≠AY であることを意味します。
※AX=AY となるような (X,Y) の組があるとしたら、上の単調増加と矛盾する

ここで、問題の条件から AP=AQ ( AP,AQは二等辺三角形の底辺以外の2辺 ) なのですから、P,Q が一致しない以上、B〜C〜D の範囲で動く Q は辺BCにない、つまり CD 上にあるということになります。

すると今度は、この正方形自体の対称性 ― 対角線ACに関する線対称 ― というところから、CP=CQ ( =x と置きます ) が分かります。

ということで、
・P は点Cにつく距離 x 手前、移動距離 24-x
・Q は点Cを距離 x 超えて、移動距離 12+x
移動距離の合計は x に関わらず 36 です。

P,Qの速度合計が毎秒5 なので、36÷5=36/5秒と。
※ここまで距離の cm は省略しています
No.46422 - 2017/10/21(Sat) 22:36:20
☆ Re: / 数学不得意
何となくわかりました。解説ありがとうございました。
No.46427 - 2017/10/22(Sun) 10:42:18