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記事No.46425に関するスレッドです
★ 最小公倍数 最大公約数 / アバン
1と2と3を使って4はすぐ出せるんですけど、1と3で3を出せる方法はありませんか？
No.46425 - 2017/10/22(Sun) 08:33:20
☆ Re: 最小公倍数 最大公約数 / アバン
すみません。1と3ではなく1と2です
No.46426 - 2017/10/22(Sun) 09:07:52
☆ Re: 最小公倍数 最大公約数 / ヨッシー
4 はどれですか？というツッコミはおいておいて。

証明というよりは、論理的に理解したいということですね。

まず、互いに素な２数ａ，ｂの最小公倍数はＬ＝ａｂである、
ということを理解しないといけません。
ａに任意の自然数を掛けた数はａの倍数です。
ａにできるだけ小さい数を掛けてｂの倍数にしたものがａ，ｂの最小公倍数です。
ａにｂより小さい自然数ｂ’を掛けてａｂ’がｂの倍数になったとすると
ａ＝ａ’×ａ”の形に分解できて、ａ”×ｂ’＝ｂ の形にならないといけません。
このとき、ａ”は２以上の整数になりますが、これはａ，ｂが互いに素であることに矛盾します。
よって、ａ，ｂの最小公倍数はａｂとなります。

一方ａ＝Ｇａ’、ｂ＝Ｇｂ’ のある公倍数をＭとすると、
　Ｍ＝ＧＳ　（Ｓは自然数）
の形に書けることは明らかです。
Ｍがａの倍数であるためには、Ｓはａ’の倍数でないといけません。
Ｍがｂの倍数であるためには、Ｓはｂ’の倍数でないといけません。
ａ’，ｂ’は互いに素なので、Ｓ＝ａ’ｂ’のとき、Ｍは最小になります。
よって、最小公倍数Ｌは　Ｌ＝Ｇａ’ｂ’ となります。
No.46453 - 2017/10/23(Mon) 09:44:45