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記事No.46495に関するスレッドです
★ (No Subject) / 東大夢見る浪人生
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No.46495 - 2017/10/24(Tue) 23:39:28
☆ Re: / ヨッシー
(1)
P(k)＝0 より (x-k) をくくりだして
　P(k)＝(x-k){x^2+(k-3)x+k}
(2)
３個の異なる正の解を持つには、まず ｋ＞０ でなければいけません。
次に、x^2+(k-3)x+k＝0 が、ｘ＝ｋ とは異なる２つの異なる正の解をもつ条件を調べます。
ｘ＝ｋ を代入して、
　k^2＋(k-3)k＋k≠０
よって、
　ｋ≠０，ｋ≠１
x^2+(k-3)x+k＝0 において、
　判別式　(k-3)^2−4k＝(k-1)(k-9)＞0　より　ｋ＜１ または ｋ＞９
　解と係数の関係より
　　２解の和：3-k＞0　より　ｋ＜３
　　２解の積：ｋ＞０
以上より
　０＜ｋ＜１
(3)
　x^2+(k-3)x+k=0
の解は、
　ｘ＝[(3-k)±√{(3-k)^2−4k}]/２
であるので、０＜ｋ＜１ においては、少なくとも１つは１より大きいです。
さらに、２回の積が ｋ であり、０＜ｋ＜１ であるので、
　α＝[(3-k)−√{(3-k)^2−4k}]/２
　β＝ｋ
　γ＝[(3-k)＋√{(3-k)^2−4k}]/２
と決まります。解と係数の関係を適用すると
　−α＋β−γ＋４/(αγ＋１)＝（ｋ−３）＋ｋ＋４／（ｋ＋１）
　　＝２ｋ−３＋４／（ｋ＋１）
f(k)＝２ｋ−３＋４／（ｋ＋１）　とおき、kで微分すると
　f'(k)＝２−４／（ｋ＋１）^2
ｋ＝√２−１ を境に f'(k) は負から正に変わるので、
ｋ＝√２−１のとき最小値
　f(k)＝４√２−５
を取ります。
No.46499 - 2017/10/25(Wed) 09:58:21