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記事No.46512に関するスレッドです
★ 関数の内積 / たなお
関数の内積に関して質問があります。

添付画像の説明の中で、「この操作は積分するということに他ならない」とありますが、その部分がいまいちよく分かりません。
積分とシグマの関係は

　　∫[a,b]f(x)・dx = lim[n→∞]Σf(x)・Δx ＝ f(x1)・Δx1 + f(x2)・Δx2 + ・・・・

だと認識しているのですが、画像では

　　∫[a,b]h(x)・dx = lim[n→∞]Σh(x) ＝ h(x1) + h(x2) +・・・・
　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　※h(x) = f(x)g(x)

としているように見えます。Δx に相当するものはいらないんですか？
どなたかご説明よろしくお願いします。

（画像引用元：http://examist.jp/mathematics/integration-expression/kansu-naiseki/）
No.46512 - 2017/10/25(Wed) 19:32:29
☆ Re: 関数の内積 / ぽけっと
たなおさんの認識で完全に正しいです

画像の説明が間違っています
もしくは間違っているとまでは言わなくても，不親切です

単純にf(-∞)g(-∞)+…と無限個の足し算（しかも非可算無限個）をしてしまうとf=0とか特殊な場合を除けばほとんど発散してしまいます
f(-∞)g(-∞)Δx
のように各項にΔx（なんらかの測度）をつける必要がありますね

離散と連続の違いという見方をしてもいいです
No.46519 - 2017/10/25(Wed) 22:21:40
☆ Re: 関数の内積 / たなお
ぽけっとさん

回答ありがとうございます！

そうですよね、、発散しますよね。
しかし、質問投稿後も色々サイトを見ましたが、同じ説明が複数のサイトで見られます。ということは、間違いではないのでしょうか？

あと、関数の内積についていい説明が載ってるサイトをもしご存知でしたら教えていただきたいです。

よろしくお願いいたします。
No.46523 - 2017/10/25(Wed) 23:25:07
☆ Re: 関数の内積 / ぽけっと
大雑把な説明と捉えるなら大きく的を外してはいないですが，数学的に厳密な話としては間違っていますね

ネット上の記事は玉石混淆なのであまり信じすぎないほうがいいです
ちゃんと理解したいのならサイトではなく教科書を読む方がいいと思います（その教科書ですら疑ってかかるべき）

関数の内積（に限らず内積一般）の話は大学1年の線形代数で扱う内容です
[他にもそれに続く関数解析という分野（と物理の量子力学という分野）で頻出です]
線形代数の教科書にならどれでも載っていると思います
たとえば有名な「理系のための線型代数の基礎（永田）」の4章の雑題1などにも書かれています

ps.
ちなみに本質を理解したいのなら「関数の内積」に焦点を当てるより「内積とはそもそも何か」を考える方がはやいです
行き着く所は内積の定義（or 内積の公理），引いてはベクトル（ベクトル空間）の公理論的定義なので，結局は線型代数をやることになるのですが
No.46526 - 2017/10/26(Thu) 00:52:13
☆ Re: 関数の内積 / たなお
ぽけっとさん

回答ありがとうございます。
分かりました！では線形代数の本を読んでみたいと思います！
No.46532 - 2017/10/26(Thu) 11:13:45