以下の和を高校数学の範囲内で求めることはできますか？
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No.46731 - 2017/11/10(Fri) 18:34:37
| ☆ Re: シグマとコンビネーション / IT | | | 類題をやったことがないと、かなり天下り的に感じると思います。
少し簡単な類題 たとえばｎＣｋのｋが偶数のものだけの和を求めるなどを考えてみるといいかも知れません。
さて本問では、
(x+1)^(4n)を展開したときのx^(4k-2)[k=1..n]の係数の和を求めればいいので、
他のx^4k（x^0も）,x^(4k-3),x^(4k-1)の係数が消えてくれればいいわけです。
複素数ｉは累乗すると1,i,-1,-i,1,i,-1,-i,1,i と周期４ですから これが使えないか考えます。
少し手順が違いますが、具体例で説明します。
簡単のためn=1のときを考えます
f(x)=(1+x)^4を展開して
＝a[0]x^0+a[1]x^1+a[2]x^2+a[3]x^3+a[4]x^4
f(+1)=a[0](+1)+a[1](+1)+a[2](+1)+a[3](+1)+a[4](+1)…?@
f(-1)=a[0](+1)+a[1](-1)+a[2](+1)+a[3](-1)+a[4](+1)…?A
f(+i)=a[0](+1)+a[1](+i)+a[2](-1)+a[3](-i)+a[4](+1)…?B
f(-i)=a[0](+1)+a[1](-i)+a[2](-1)+a[3](+i)+a[4](+1)…?C
?@+?A f(+1)+f(-1)=2{a[0](+1)+a[2](+1)+a[4](+1)}…?D
?B+?C f(+i)+f(-i)=2{a[0](+1)+a[2](-1)+a[4](+1)}…?E
a[2] だけ残すため
?D-?E {f(+1)+f(-1)}-{f(+i)+f(-i)}=4a[2]
なおa[0]=4C0,a[1]=4C1,a[2]=4C2,...です
一般の自然数nのときどうなるか、確認してください。
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No.46743 - 2017/11/11(Sat) 12:55:59 |
| ☆ Re: シグマとコンビネーション / IT | | | なお、思考時には、
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 …?@
1,-1, 1,-1, 1,-1, 1,-1, 1 …?A
1, i,-1,-i, 1, i,-1,-i, 1 …?B
1,-i,-1, i, 1,-i,-1, i, 1 …?C
を書いて考えました。
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No.46745 - 2017/11/11(Sat) 14:02:08 |
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