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記事No.46791に関するスレッドです
★ 中3図形 / 中３
円Ｏの半径が求められません、、
よろしくお願いします。
※△ＡＢＣは鋭角三角形、ＢＣは円Ｏの接線です。
No.46791 - 2017/11/13(Mon) 14:33:57
☆ Re: 中3図形 / ヨッシー
円の中心Ｏは、ＱからＢＣに垂直に引いた直線上にあります。
この垂線と、ＡＱの垂直二等分線との交点が点Ｏになります。、


ＡからＢＣに垂線ＡＨを下ろします。
ＣＨ＝ｘとすると、
　ＢＨ＝８−ｘ、ＡＨ＝√3ｘ
よって、△ＡＢＨにおける三平方の定理より
　49＝(8−x)^2＋3x^2
展開して
　4x^2−16x＋15＝０
　(2x−5)(2x−3)＝０
これを解いて、
　ｘ＝5/2, 3/2

x=3/2 は △ＤＢＣを考えたときの値で、
△ＡＢＣについては、ｘ＝5/2 となります。

Ｑを原点として、図のように座標軸を取ると、
　Ａ (3/2, 5√3/2)
となり、ＡＱの傾きは 5√3/3。ＡＱの垂直二等分線の傾きは、
　−3/5√3＝-√3/5
であり、(3/4, 5√3/4) を通ることから、式は、
　ｙ＝-√3/5(x−3/4)＋5√3/4
ｙ切片だけ計算すると、
　3√3/20＋5√3/4＝7√3/5
これが、求める半径となります。
No.46792 - 2017/11/13(Mon) 15:43:58
☆ Re: 中3図形 / らすかる
x=5/2以降の別解

半径をrとしてOからAHに垂線OSを引くと
AS=√(AO^2-OS^2)=√(AO^2-QH^2)=√(r^2-9/4)
SH=OQ=rなので
AS+SH=AHから√(r^2-9/4)+r=(√3)(5/2)=5√3/2
√(r^2-9/4)=5√3/2-rを辺々2乗して整理することにより
r=7√3/5
No.46793 - 2017/11/13(Mon) 16:07:05
☆ 別解 / angel
らすかるさんの解法に似ていますが。

添付の図の矢印の順に長さを調べていって、最終的に△AIOでの三平方の定理

　w^2+(h-r)^2=r^2

ここから r=(w^2+h^2)/2h
w=1.5, h=5√3/2 であるため r=7√3/5

なお、最初の AC=5 は余弦定理から。
すなわち、AC=x と置いた時、

　x^2+8^2-7^2-2x・8・cos60°=0

これを解いて x=3,5 ただし、x=3 は鈍角三角形のため除外して x=5
No.46802 - 2017/11/13(Mon) 22:25:19