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記事No.47121に関するスレッドです
★ (No Subject) / 梨
この問題の解き方と答えが分かりません。教えてください。よろしくお願いします。
No.47121 - 2017/12/05(Tue) 11:38:39
☆ Re: / X
問題の漸化式を(A)、
a[1]=2 (B[1])
とします。
(A)においてn=1のとき
3a[1]^2=a[1]a[2]
(B[1])よりa[1]≠0ですので
a[2]=3a[1]=6 (B[2])
(A)においてn=2のとき
3(a[1]^2+a[2]^2)=2a[2]a[3]
(B[1]),(B[2])をこれに代入すると
3(2^2+6^2)=12a[3]
∴a[3]=10 (B[3])
よって
a[n]=2+4(n-1)
=4n-2 (C)
が推測されます。
そこで(C)を数学的帰納法を使って
証明します。
(i)n=1のとき
(C)は成立。
(ii)n=kのとき、(C)の成立を仮定します。
つまり
a[k]=4k-2
このとき(C)により
k(4k-2)a[k+1]=3Σ[j=1〜k](4j-2)^2 (A)'
ここで
((A)'の右辺)=3Σ[j=1〜k](16j^2-16j+4)
=3{16・(1/6)k(k+1)(2k+1)-16・(1/2)k(k+1)+4k}
=3{(8/3)k(k+1)(2k+1)-8k(k+1)+4k}
=k{8(k+1)(2k+1)-24(k+1)+12}
=k{8(k+1)(2k-2)+12}
=k{16(k^2-1)+12}
=k(16k^2-4)
=4k(2k+1)(2k-1)
∴(A)'より
2k(2k-1)a[k+1]=4k(2k+1)(2k-1)
k≧1によりk(2k-1)≠0ですので
a[k+1]=2(2k+1)
=4k+2
=4(k+1)-2
∴(C)はn=k+1のときも成立。

以上から
a[n]=4n-2
となります。
No.47129 - 2017/12/05(Tue) 16:39:29