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記事No.47228に関するスレッドです
★ (No Subject) / 梨
この問題の解き方と答えが分かりません。教えてください。よろしくお願いします。
No.47228 - 2017/12/11(Mon) 16:27:11
☆ Re: / ヨッシー
(1) だけでも、模範解答ありませんか？
１行目の　sinα＝(1/3)ａ のａが気になります。
No.47231 - 2017/12/11(Mon) 19:17:46
☆ Re: / X
>>ヨッシーさんへ
aは単に定数として扱っても問題ないのでは?
(0＜α＜π/4からaの値の範囲に条件は付きますが)

(1)
条件から
0＜2α＜π/2
∴0＜α＜π/4
∴cosα=√{1-(sinα)^2}
=√{1-(1/9)a^2}
よって
tanα=(sinα)/(cosα)
=(a/3)/√{1-(1/9)a^2}
=a/√(9-a^2)
cos2α=1-2(sinα)^2
=1-(2/9)a^2

(2)
条件から
CA=BCtanB
=7tan2α
=7・(2tanα)/{1-(tanα)^2}
AB=BC/cosB
=7/cos2α
これらに(1)の結果を代入すると
CA={14a/√(9-a^2)}/{1-(a^2)/(9-a^2)}
={14a√(9-a^2)}/(9-2a^2) (A)
AB=7/{1-(2/9)a^2}
=63/(9-2a^2) (B)
一方、△ABCの面積について
(1/2)BC・CA=(1/2)r[1](AB+BC+CA) (C)
(A)(B)(C)より
(1/2)・7・{14a√(9-a^2)}/(9-2a^2)
=(1/2)r[1]{63/(9-2a^2)+7+{14a√(9-a^2)}/(9-2a^2)}
∴r[1]={7a√(9-a^2)}/{9-a^2+a√(9-a^2)}
=7a/{a+√(9-a^2)}

(3)
点O[n]から辺BCに下ろした垂線の足をH[n]とすると
O[n]H[n]=r[n]
∴BO[n]=O[n]H[n]/sin∠O[n]BH[n]
=r[n]/sinα
=3r[n]/a
よって辺BO[n-1]に注目すると
3r[n-1]/a=3r[n]/a+r[n]+r[n-1]
これより
(1+3/a)r[n]=(3/a-1)r[n-1]
r[n]={(3-a)/(3+a)}r[n-1]
∴r[n]=r[1]{(3-a)/(3+a)}^(n-1)
これに(1)の結果を代入して
r[n]={7a/{a+√(9-a^2)}}{(3-a)/(3+a)}^(n-1)

(4)
(3)の結果を使うと
S[n]=πr[n]^2
={49π(a^2)/{9+2a√(9-a^2)}}{{(3-a)/(3+a)}^2}^(n-1)
後は等比数列の和の公式を使います。
No.47232 - 2017/12/11(Mon) 19:26:39
☆ Re: / 梨
すいません(1/3)aのaはいりませんでした
No.47265 - 2017/12/12(Tue) 22:16:17