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記事No.47380に関するスレッドです
★
指数対数
/ とんだ
引用
この問題がわかりません
教えてください
お願いします。
No.47380 - 2017/12/21(Thu) 18:37:24
☆
Re: 指数対数
/ takec
引用
(1)
?@27 x^2 y = 3^a より
log_3 (27 x^2 y) = log_3 3^a
log_3 3^3 + log_3 x^2 + log_3 y = log_3 3^a
3log_3 3 + 2log_3 x + log_3 y = a log_3 3
3 + 2log_3 x + log_3 y = a ・・・(A)
今、X = log_3 x、Y = log_3 yとおくと、(A)は以下のようになる。
3 + 2X + Y = a
Y = -2X + a - 3 ・・・?B
(2)
?A(log_3 xy)^2 - log_3 x^6 - a^2 = 0より、
(log_3 x + log_3 y)^2 - 6log_3 x - a^2 = 0
(X + Y)^2 - 6X - a^2 = 0
?BよりりYを代入すると、
(X + (-2X + a - 3))^2 - 6X - a^2 = 0
(-X + a - 3)^2 -6X - a^2 = 0
X^2 - 2X(a-3) + (a-3)^2 - 6X - a^2 = 0
X^2 - 2Xa + 6X + a^2 -6a + 9 - 6X - a^2 = 0
X^2 - 2Xa - 6a + 9 = 0 ・・・(B)
(3)
(B)を二次方程式の解の方式で解く。
X = {2a ± (4a^2 -4(9-6a))^(1/2)} / 2
= a ± (a^2 + 6a - 9)^(1/2)
log_3 x = log_3 3^{a ± (a^2 + 6a - 9)^(1/2)}
x = 3^{a ± (a^2 + 6a - 9)^(1/2)}
二つの解の積が243であることから、
3^{a + (a^2 + 6a - 9)^(1/2)} 3^{a - (a^2 + 6a - 9)^(1/2)} = 243
3^(2a) = 3^5
2a = 5
a = 5/2
このとき、(a^2 + 6a - 9)^(1/2)は
(a^2 + 6a - 9)^(1/2)
= (25/4 + 30/2 - 9)^(1/2)
= (25/4 + 60/4 - 36/4)^(1/2)
= (49/4)^(1/2)
= 7/2
よって、
x = 3^(5/2 + 7/2), 3^(5/2 - 7/2)
= 3^6, 3^(-1) ・・・(C)
?Cに二つの解を与えると、
log_3 y = -2 log_3 3^6 + 5/2 log_3 3 - 3log_3 3
log_3 y = log_3 3^(-12) + log_3 3^(5/2) + log_3 3^(-3)
log_3 y = log_3 3^(-15 + 5/2)
log_3 y = log_3 3^(-25/2)
y = 3^(-25/2)
log_3 y = -2 log_3 3^(-1) + 5/2 log_3 3 - 3log_3 3
log_3 y = log_3 3^2 + log_3 3^(5/2) ^ log_3 3^(-3)
log_3 y = log_3 3^(-1 + 5/2)
log_3 y = log_3 3^(3/2)
y = 3^(3/2)
No.47386 - 2017/12/22(Fri) 00:13:27
☆
Re: 指数対数
/ とんだ
引用
takecさん
とてもわかりやすい解説ありがとうございます。
No.47393 - 2017/12/22(Fri) 03:04:12
