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記事No.47522に関するスレッドです
★ 解説お願いします / りん
高３です
右のページの間違っているところの解説お願いします
No.47522 - 2017/12/29(Fri) 23:35:09
☆ Re: 解説お願いします / angel
まず(1)で 8/x+5/y=3 ⇔ (3x-8)(3y-5)=40 という変形をやりましたね。
(2)ではその一般化した形

8/x+p/y=3 ⇔ (3x-8)(3y-p)=8p

を意識した話になります。これは(1)と同じように計算しておいて下さい。

・シ〜ソ
さて、シ〜ソについてですが、x最大の解を求めるところ、上記の変形からすると、(3y-p)を ( 正の整数の範囲で ) ぎりぎりまで小さくしてはどうか、と考えます。

そうすると、サの部分の誘導によって 3y-p は3で割って2余る数と分かっているので、3y-p=2 とするのが最小の候補です。
で、実際に 3y-p=2 とすると 3x-8=4p つまり 3x=4p+8 で、4p+8 は ( pを3で割った余りから考えて ) 3の倍数になっているので、x はちゃんと整数解、しかも最大であるというおまけつき。
ということで、3x-8=4p, 3y-p=2 から答えが計算できます

・タチ
ちょっと条件がややこしいです。丁寧に整理していく必要があって、

* 3進法で表すと4桁以上
　→ 10進法で4桁以上だと 1000=10^(4-1) 以上ですね。
　　同様に3進法で4桁以上は、3^(3-1)=27 以上です。
* 4桁以上になるものがただ1組しかない
　→ xの最大値は4桁以上、次に大きい値は4桁未満、そう考えます。

さて、シ〜ソで最大値を求める時は、
　(3x-8)(3y-p)=8p で 3y-p=2
と考えました。
じゃあ次は? というのがちょっと厄介です。
3で割った余りからして、次の候補は 3y-p=5 なのですが、8p が 5 で割り切れるかは分かってません。
なので、そこは取り敢えず置いておいて 3y-p=8 を調べます。
つまり、3x-8=p, 3y-p=8 です。これもちゃんと x,y は整数解になっていることに注意。

ということで、ひょっとしたら次々点かもしれませんが、x=(p+8)/3 これが 27未満であると。
(p+8)/3＜27 を解いて p＜73、3で割って1余る中での最大は p=70 です。おしまい。
…で終わっちゃうと間違いです。なぜなら 8p が5で割れるか分からない点を棚上げしていたからです。

ちゃんと確認しましょう。p=70 だと 8p が 5で割れますから、本当の次点は 3x-8=8p/5, 3y-p=5 からの (x,y)=(40,25) …27未満になってないですね。
なので、これはボツです。

ということで次に大きい p=67、これは 8p が5で割れないので「本当の次点」が隠れているということもありません。なので、これでO.K.です。
No.47524 - 2017/12/30(Sat) 08:35:45
☆ Re: 解説お願いします / IT
りんさん＞
間違っているのは、左のページの(1)[カ][キ]のような気もしますが、そちらは解決済みということでしょうか？
No.47526 - 2017/12/30(Sat) 09:13:47
☆ Re: 解説お願いします / IT
angel さん
> (p+8)/3＜27 を解いて p＜73、3で割って1余る中での最大は p=70 です。おしまい。
・・・・
> ちゃんと確認しましょう。p=70 だと ・・・

画像が不鮮明ですが、問題文に「pは・・・素数とする」と書いてあるようなので、70は対象外なのではないでしょうか？
No.47530 - 2017/12/30(Sat) 10:38:05
☆ Re: 解説お願いします / angel
> 問題文に「pは・・・素数とする」と書いてあるようなので

あ、「素数」ですか。言われてみるとそう見えますね。そこはさっぱり読めてませんでした。
No.47536 - 2017/12/30(Sat) 12:19:53