[ 掲示板に戻る ]
記事No.47554に関するスレッドです
★ 高3理系 / 図形問題を愛する男
【問題】
正三角形ABCの内部に点Pがあり、AP＝3，BP＝4，CP＝5である。
このとき△ABCの面積を求めよ。

解説をお願いします！
No.47553 - 2017/12/30(Sat) 23:50:25
☆ Re: 高3理系 / らすかる
まずその図を描いて、
次に△ABCを60°右回転したものを
各辺の外側にそれぞれくっつけて3個描きます。
そして真ん中の三角形のPと
まわりの三角形のP1,P2,P3をそれぞれ結びます。
すると全体は△ABCの面積の4倍ですが、
この図は
(1)1辺の長さが3の正三角形が1個
(2)1辺の長さが4の正三角形が1個
(3)1辺の長さが5の正三角形が1個
(4)辺の長さが3,4,5の直角三角形が3個
(5)△ABPと合同な三角形が2個
(6)△BCPと合同な三角形が2個
(7)△CAPと合同な三角形が2個
に分けられますので
4△ABC={(1)+(2)+(3)+(4)}+{(5)+(6)+(7)}
={(1)+(2)+(3)+(4)}+2△ABC
∴△ABC={(1)+(2)+(3)+(4)}/2=25√3/4+9
と求まります。

# P1,P2,P3だけ作図して六角形AP1BP3CP2を作り、
# △ABP≡△CBP3, △BCP≡△ACP2, △CAP≡△BAP1 から
# 六角形AP1BP3CP2=2△ABCとしてもOKです。
No.47554 - 2017/12/31(Sun) 00:25:06
☆ Re: 高3理系 / 図形問題を愛する男
これは見事な幾何的解法ですね…。美しい！
やはり平面幾何は正義(^^♪
No.47565 - 2017/12/31(Sun) 11:50:03