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記事No.47663に関するスレッドです
★ 数?U整式の割り算 / pui
赤い下線を引いた箇所が理解できません。割ったときの余りがP(x)と等しいとき求める整式がR(x)となる理由を教えてください。
No.47663 - 2018/01/05(Fri) 08:51:16
☆ Re: 数?U整式の割り算 / ヨッシー
R(x) を x^2＋1 で割った余りが、 3x＋2 で、
x^2＋x＋1 で割った余りが2x＋3 であるとすると、
任意の整式 Q(x) に対して、
　P(x)＝(x^2＋1)(x^2＋x＋1)Q(x)＋R(x)
は、x^2＋1 で割った余りが、 3x＋2 で、
x^2＋x＋1 で割った余りが2x＋3 である整式です。
つまり、Q(x) を変えることによって、P(x) は無数に作れるわけですが、
その中で次数が最小のものは、Q(x)＝０ のときの
　P(x)＝R(x)
である、ということです。
No.47664 - 2018/01/05(Fri) 09:27:22
☆ Re: 数?U整式の割り算 / pui
再度質問すみません。そういったR(x)が必ず存在するといえるのはどうしてでしょうか。
No.47669 - 2018/01/05(Fri) 16:31:25
☆ Re: 数?U整式の割り算 / ヨッシー
必ず存在するかは分かりません。
ここで言っているのは、
　「存在するなら ３次以下ですよ」
ということで、それに沿って調べていったら、確かに存在する、
というのを、そのあと調べていくのです。
No.47673 - 2018/01/05(Fri) 17:14:01
☆ Re: 数?U整式の割り算 / pui
3次以下と言える理由がどうしても腑に落ちません。
P(x)＝(x^2＋1)(x^2＋x＋1)Q(x)＋R(x)
とするとこの式に当てはまる3次式のR(x)は存在せず、R(x)が4次式だったら存在した、とは絶対ならないのでしょうか。なぜR(x)はこの式に収まるのでしょうか。
何度も質問すみません。
No.47677 - 2018/01/05(Fri) 18:39:36
☆ Re: 数?U整式の割り算 / らすかる
絶対になりません。
もしS(x)が4次式で
P(x)=(x^2+1)(x^2+x+1)Q(x)+S(x)
となった場合、S(x)の4次の項の係数をaとして
S(x)からa(x^2+1)(x^2+x+1)を引けば3次以下の式になりますから、
S(x)=a(x^2+1)(x^2+x+1)+(3次以下の式)
となり、この(3次以下の式)をR(x)とおけば
P(x)=(x^2+1)(x^2+x+1)Q(x)+S(x)
=(x^2+1)(x^2+x+1)Q(x)+a(x^2+1)(x^2+x+1)+R(x)
=(x^2+1)(x^2+x+1){Q(x)+a}+R(x)
となりますので、必ず条件を満たす3次以下の式
R(x)が存在することになります。
No.47682 - 2018/01/05(Fri) 19:16:15
☆ Re: 数?U整式の割り算 / pui
なるほど、理解できました。丁寧に教えてくださって本当にありがとうございます。
No.47686 - 2018/01/05(Fri) 21:37:51