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記事No.47995に関するスレッドです
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(No Subject)
/ 神谷
引用
(1)は分かったのですが、画像の(2)と(3)の解き方がいまいちよく分かりません。答えは、(2)1/1536(3)√3π/12-1/2log2となります。解説願います。
No.47995 - 2018/01/17(Wed) 11:44:36
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Re:
/ X
引用
いずれもまずDの図示をしましょう。
(2)
曲線y=x^2
と
直線y=x/2
の交点のx座標について
x^2=x/2
∴x=0,1/2
よって
(与式)=∫[x:0→1/2]∫[y:x^2→x/2]xydydx
=∫[x:0→1/2][x(1/2)y^2][y:x^2→x/2]dx
=…
(3)
直線x=y
と
曲線x=y^2
との交点のy座標について
y^2=y
∴y=0,1
∴(与式)=∫[y:1→√3]∫[x:y→y^2]{y/(x^2+y^2)}dxdy
=∫[y:1→√3][arctan(x/y)][x:y→y^2]dy
=…
注)arctanの積分は部分積分を使います。
(この説明で分からなければその旨をアップして下さい。)
No.47996 - 2018/01/17(Wed) 12:30:15
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Re:
/ 神谷
引用
だいたい分かりましたが、arctanの部分積分の仕方が難しくて分かりません。解説願います。
No.48000 - 2018/01/17(Wed) 14:02:25
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Re:
/ X
引用
部分積分により
∫arctanxdx=xarctanx-∫{x/(x^2+1)}dx
第二項については、分かりにくければ
x^2+1=t
と置いてみましょう。
No.48001 - 2018/01/17(Wed) 14:55:25
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Re:
/ 神谷
引用
一通り解いてみましたが、答えが合いません。
できたら、お手本として(3)を解いて頂けないでしょうか？
No.48004 - 2018/01/17(Wed) 16:38:42
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Re:
/ X
引用
(3)
(与式)=∫[y:1→√3]∫[x:y→y^2]{y/(x^2+y^2)}dxdy
=∫[y:1→√3][arctan(x/y)][x:y→y^2]dy
=∫[y:1→√3](arctany-π/4)dy
=∫[y:1→√3]arctanydy-(π/4)(√3-1)
=[yarctany][y:1→√3]-∫[y:1→√3]{y/(1+y^2)}dy-(π/4)(√3-1)
=(π/12)√3-[(1/2)log(1+y^2)][y:1→√3]
=(π/12)√3-(1/2)log2
となります。
No.48007 - 2018/01/17(Wed) 17:54:36
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Re:
/ 神谷
引用
なるほど！どこで勘違いしていたのか分かりました！ありがとうございました❗
No.48011 - 2018/01/17(Wed) 18:02:46
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Re:
/ Y
引用
すみません。横から失礼します。
∫[y:1→√3]arctanydy-(π/4)(√3-1)で、なぜ
[x:y→y^2]dyが消え、(√3-1)が出て来たのですか？また、=[yarctany][y:1→√3]-∫[y:1→√3]{y/(1+y^2)}dy-(π/4)(√3-1)の部分でまた∫[y:1→√3]が出て来たのはなぜでしょう？
No.48013 - 2018/01/17(Wed) 18:22:39
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Re:
/ Y
引用
疑問に思ったので、質問させて頂きました。
差し支えなければ、教えてください。
No.48014 - 2018/01/17(Wed) 18:23:47
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Re:
/ X
引用
>>∫[y:1→√3]arctanydy-(π/4)(√3-1)で、なぜ
>>[x:y→y^2]dyが消え、(√3-1)が出て来たのですか？
計算を一行飛ばして見てしまっています。
間の行の
＞＞=∫[y:1→√3](arctany-π/4)dy
はご覧になりましたか？
>>また、〜
＞＞=∫[y:1→√3]arctanydy-(π/4)(√3-1)
の定積分の項に対して部分積分を実行した結果が
＞＞=[yarctany][y:1→√3]-∫[y:1→√3]{y/(1+y^2)}dy-(π/4)(√3-1)
の第一項、第二項の部分に当たります。
No.48017 - 2018/01/17(Wed) 19:11:07
