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記事No.48162に関するスレッドです
★ (No Subject) / あずさ
すみません！
画像の4番の解き方がちょっと分からないので、解説お願い致します！答えは、π(e^(b^2)-e^(a^2))になります！
No.48162 - 2018/01/23(Tue) 17:57:40
☆ Re: / X
極座標に変換すると
D={(r,θ):a≦r≦b,0≦θ≦2π}
でヤコビヤンはrですので
(与式)=∫[θ:0→2π]∫[r:a→b]{re^(r^2)}drdθ
=2π∫[r:a→b]{re^(r^2)}dr
=2π[(1/2)e^(r^2)][r:a→b]
=π{e^(b^2)-e^(a^2)}
となります。
No.48163 - 2018/01/23(Tue) 18:05:22
☆ Re: / あずさ
解説ありがとうございます❗授業だと、x=rcosθ,y=rsinθみたいな解き方で解いていたのですが、その場合の解き方も教えて頂けると助かります。
No.48166 - 2018/01/23(Tue) 18:14:50
☆ Re: / あずさ
あ、すみません！
もちかして、その解き方で解いてますか？
No.48167 - 2018/01/23(Tue) 18:19:01
☆ Re: / あずさ
あと、
D={(r,θ):a≦r≦b,0≦θ≦2π}は、どうやって導いたのでしょうか？
No.48169 - 2018/01/23(Tue) 18:22:23
☆ Re: / X
＞＞もちかして、その解き方で解いてますか？
その通りです。

レスを見る限り、極座標について
理解ができていないように見られます。
教科書などで極座標の項目を復習した上で
もう一度考えてみましょう。
No.48170 - 2018/01/23(Tue) 18:56:21
☆ Re: / あずさ
分かりました❗極座標についてはもう1度復習してみようと思いますが、a^2≦x^2+y^2≦b^2から
a≦r≦b,0≦θ≦2πへの変形のやり方を教えて頂くことはできないでしょうか？1つのお手本として、学びたいのですが…
No.48173 - 2018/01/23(Tue) 19:23:52
☆ Re: / X
＞＞分かりました❗極座標についてはもう1度復習してみようと思いますが
「復習してみよう」ではなくて復習をして下さい。
そして、極座標に関する練習問題も高校時代を思い出して
解いてみて下さい。

あずささんの仰っていることは
原点中心、半径Rの円の周及び内部を表す不等式である
x^2+y^2≦R^2
を極座標の形に変換できない
(≒高校数学ができない)
と言っているのと同じです。

ここで復習しておかないと、添付写真の(5)も解けません。
(これも極座標に変換して解きます。但し、変換後の
不等式の形は(4)の場合より多少複雑な形になりますが。)
No.48180 - 2018/01/23(Tue) 20:38:44
☆ Re: / あずさ
ちょっと考えてみましたが、
x=rcosθ、y=rsinθとおき、a^2≦x^2+y^2≦b^2に代入すると、a^2≦r≦b^2が導き出されるのは分かりましたが、θが0≦θ≦2πのような範囲をとるのは、aとbの値が定まっていないからですか？
No.48182 - 2018/01/23(Tue) 21:14:04
☆ Re: / X
違います。
この場合、rとθは無関係ですので
極座標の定義の上で取りうるθの
値の範囲である
0≦θ≦2π
を取っています。
No.48184 - 2018/01/23(Tue) 21:56:58
☆ Re: / あずさ
つまり、無関係だと0≦θ≦2πをとるってことですか？
No.48190 - 2018/01/24(Wed) 08:11:19
☆ Re: / X
この場合はそうなります。
但し、θに対して他に拘束条件がある場合は
0≦θ≦2π
とはなるとは限りません。
例えばDに
x≧0,y≧0 (P)
という条件が加わっているのであれば
0≦θ≦π/2
となります。
(理由は(P)のx,yをr,θで表して考えてみて下さい。)
No.48201 - 2018/01/24(Wed) 20:00:22