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記事No.48214に関するスレッドです
★ 数?V 積分 / iM
部分積分法の例題です。
参考書は、このあと「1の積分をあえてxではなくx+6にすると計算が楽になる」となって行くのですが、本当にxでもx+6でも答えが変わらないのか、と疑問に思い、灰色の部分をそのまま計算してみた結果、logがループして出てきてしまい、計算が終わらなくなってしまいました。
1の積分をxのまま、無理にでも部分積分法で計算していくのは無理なんでしょうか？
この文章の書き方だと、面倒くさいだけで出来はする、と取れるのですが…
No.48214 - 2018/01/25(Thu) 00:58:14
☆ Re: 数?V 積分 / ast
以下, 不定積分の形で計算しますが, 定積分に用いる用途なので積分定数は省略します:

2x/(x+6) = 2 - 12/(x+6) を代入して
　∫{log(x+6)*2x/(x+6)}dx = 2∫log(x+6)dx - 12∫{log(x+6)/(x+6)}dx.
右辺の各項は
　∫log(x+6)dx = xlog(x+6) - x + 6log(x+6) (∵部分積分)
および
　∫{log(x+6)/(x+6)}dx = ∫log(x+6)*(log(x+6))' dx
= (1/2){log(x+6)}^2 (∵置換積分 y=log(x+6). あるいは部分積分でも工夫すれば出せる(次の段落参照))
を代入すれば計算が終わります.

> ループ
というのは ∫log(x+6)*(log(x+6))' dx を部分積分しようとして同じ積分が出てきてしまったというようなことでしょうか? もしそうであれば, 同じ積分が出てきた時点で計算を一旦やめて見ると, その積分値に関する方程式が出来上がっているはずなので, それを解きます. つまり,

　∫log(x+6)*(log(x+6)}' dx = {log(x+6)}^2 - ∫log(x+6)*(log(x+6)}' dx
　∴ 2∫log(x+6)*(log(x+6)}' dx = {log(x+6)}^2
# 同じことだが, I = ∫log(x+6)*(log(x+6)}' dx と置けば
# I = {log(x+6)}^2 -I, したがって 2I = {log(x+6)}^2

となり, 先と同じ結果を得ます.
No.48224 - 2018/01/25(Thu) 12:11:08
☆ Re: 数?V 積分 / iM
ありがとうございます！すっきりしました。
ループのところおっしゃる通りです。
積分にまだまだ慣れていないので、よくわからない表現になってしまい、すみませんでした
No.48252 - 2018/01/25(Thu) 20:00:34