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記事No.48239に関するスレッドです
★ 円の問題！中3です！ / 蘭
大きい半径10の中に、中の円半径5の円が接しており、
大きい円と中の円に接する小さい円があります。
小さい円の半径を求めよ。

という問題です。

答えは分かっていません。
解説よろしくお願い申し上げます。

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No.48239 - 2018/01/25(Thu) 17:47:33
☆ Re: 円の問題！中3です！ / らすかる
半径10の半円の中心をO、半径5,rの円の中心をP,Qとして
Qから半円Oの直径に下ろした垂線の足をR、
直線OQと半円Oの弧の交点をSとしてOR=xとおくと
△OQRに関する三平方の定理から OQ=√(x^2+r^2)なので
OS=√(x^2+r^2)+r=10
rを移項して両辺を2乗し整理すると
x^2+20r=100 … (1)
QからOPに下ろした垂線の足をTとすると
△PTQに関する三平方の定理から(5+r)^2=x^2+(5-r)^2
整理して x^2=20r … (2)
(1)(2)から r=5/2
No.48240 - 2018/01/25(Thu) 18:13:23
☆ Re: 円の問題！中3です！ / ヨッシー
図も描いたことですし、一応載せておきます


図のように、大円の中心をＯ(0,0)、中円の中心をＡ(0,5)とします。
大円の半径方向にｘ軸、ＯＡ方向にｙ軸を取ります。
小円の中心をＢ(x,y) とし、ｘ＞０、ｙ＞０とします。
この時、小円の半径はｙに一致します。
ＯＢ＝１０−ｙ，ＡＢ＝５＋ｙ であることから、
　ＯＢ^2＝ｘ^2＋ｙ^2＝(１０−ｙ)^2
　ＡＢ^2＝ｘ^2＋(５−ｙ)^2＝(５＋ｙ)^2
展開して
　ｘ^2＝１００−２０ｙ
　ｘ^2−１０ｙ＝１０ｙ
これより、
　１００−２０ｙ＝２０ｙ
　ｙ＝５／２　・・・答え
No.48241 - 2018/01/25(Thu) 18:16:17
☆ Re: 円の問題！中3です！ / 蘭
おーー

お二方ともありがとうございます！
本当に毎回感謝です！！！



ちょっと疑問に思うのですが、

なぜ、OBを結ぶと、円Bの接点にたどりつくのでしょうか？
本当に毎度すみません。

お答えお願いします。

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No.48246 - 2018/01/25(Thu) 18:54:52
☆ Re: 円の問題！中3です！ / らすかる
円Bの半径をr、直線OBと円Bの交点のうちOから遠い方をCとします。
OB=10-rというのはOKですか？
もしこれがOKならば、BC=rなのでOC=OB+BC=(10-r)+r=10となり、
Cは円Oの周上の点でもあります。

直感的には、Bがx軸上の点である場合を考えるとわかりやすいかと思います。
No.48250 - 2018/01/25(Thu) 19:30:58
☆ Re: 円の問題！中3です！ / 蘭
ご返信、ありがとうございます！！
返すのが遅くなってしまい申し訳ないです。

納得できました！

本当にありがとうございます！感謝しかないです！

またご機会がありましたらよろしくお願いします！


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No.48257 - 2018/01/25(Thu) 21:08:58