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記事No.48430に関するスレッドです
★ (No Subject) / ふーみん
至急、この証明を教えてください。お願いします
No.48430 - 2018/01/30(Tue) 06:53:03
☆ Re: / ヨッシー
(1)
ｙ＝１／ｘ のグラフ上で、ｘ＝ｋ，ｘ＝ｋ＋１ の部分を考えます。

ｙ＝１／ｘ のグラフは単調減少なので、上のようなグラフになります。
　赤の面積＝1/(k+1)
　（赤＋青）の面積＝∫[k〜k+1](1/x)dx
　（赤＋青＋黄）の面積＝1/k
よって、
　1/(k+1)＜∫[k〜k+1](1/x)dx＜1/k
(2)
　1/(k+1)＜∫[k〜k+1](1/x)dx＜1/k
は、
　1/(k+1)＜log(k+1)−log(k)＜1/k
と書けます。これに、k=1からk=n までを当てはめると
　1/2＜log(2)−log(1)＜1
　1/3＜log(3)−log(2)＜1/2
　　・・・
　1/n＜log(n)−log(n-1)＜1/(n-1)
　1/(n+1)＜log(n+1)−log(n)＜1/n
辺々足すと
　1/2＋1/3＋・・・＋1/(n+1)＜log(n+1)＜1＋1/2＋・・・＋1/n　・・・(i)
また、n-1 式目までを足すと
　1/2＋1/3＋・・・＋1/n＜log(n)＜1＋1/2＋・・・＋1/(n-1)　・・・(ii)
(i) より
　log(n+1)＜1＋1/2＋・・・＋1/n
log(n)＜log(n+1) より
　log(n)＜1＋1/2＋・・・＋1/n
(ii) より
　1/2＋1/3＋・・・＋1/n＜log(n)
両辺１を加えて
　1＋1/2＋1/3＋・・・＋1/n＜1＋log(n)
以上より
　log(n)＜1＋1/2＋・・・＋1/n＜1＋log(n)
No.48431 - 2018/01/30(Tue) 09:47:00
☆ Re: / X
(1)の別解

条件から平均値の定理により
1/c=∫[k→k+1](dx/x) (A)
k＜c＜k+1 (B)
なるcが存在します。
(B)より
1/(k+1)＜1/c＜1/k
これに(A)を代入して
1/(k+1)＜∫[k→k+1](dx/x)＜1/k

…ですが問題を図形的な意味から理解するためには
ヨッシーさんの解答の方が的確だと思います。
No.48434 - 2018/01/30(Tue) 12:04:29