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記事No.48491に関するスレッドです
★ 数列 / けい
この問題の解き方とanの解を教えてください
No.48491 - 2018/02/01(Thu) 00:30:57
☆ Re: 数列 / らすかる
a[n+2]=a[n+1]-(3/2)a[n]+4 が
a[n+2]+pa[n+1]+q=r(a[n+1]+pa[n]+q)
に変形できたとしてこの式を変形すると
a[n+2]=(r-p)a[n+1]+pra[n]+q(r-1)
pr=-3/2, r-p=1, q(r-1)=4 から適解の一つは
p=(-1+i√5)/2, q=-4(1+i√5)/3, r=(1+i√5)/2
b[n]=a[n+1]+pa[n]+q とおくと b[1]=1+p+q, b[n+1]=rb[n] なので
b[n]=(1+p+q)r^(n-1)
よって
a[n+1]=-pa[n]+b[n]-q
=-pa[n]+(1+p+q)r^(n-1)-q
この式が
a[n+1]+sr^n+t=-p(a[n]+sr^(n-1)+t)
と変形できたとしてこの式を変形すると
a[n+1]=-pa[n]-s(p+r)r^(n-1)-t(p+1)
-s(p+r)=1+p+q, -t(p+1)=-q から
s=-(1+p+q)/(p+r)=-(r+q)/(p+r)=(5-i√5)/6
t=q/(p+1)=q/r=(-4/3)/(1/2)=-8/3
c[n]=a[n]+sr^(n-1)+t とおくと c[1]=1+s+t, c[n+1]=-pc[n] なので
c[n]=(1+s+t)(-p)^(n-1)
よって
a[n]=-sr^(n-1)+c[n]-t
=-sr^(n-1)+(1+s+t)(-p)^(n-1)-t
=(i√5-5)/6・((1+i√5)/2)^(n-1)-(5+i√5)/6・((1-i√5)/2)^(n-1)+8/3
=(i√5/3)((1+i√5)/2)^n-(i√5/3)((1-i√5)/2)^n+8/3
=((i√5)(((1+i√5)/2)^n-((1-i√5)/2)^n)+8)/3
No.48492 - 2018/02/01(Thu) 01:33:46