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記事No.48553に関するスレッドです
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(No Subject)
/ 中三
引用
この問題を三平方の定理のみで簡単に解く方法はありますか？
AからBCに垂線を引いて交点をHとし、DHをXとおいて
AD²-X²=AB²-(BD+X)²
と立式してAHを求めて解いたのですがこの方法が最短なのでしょうか？
No.48553 - 2018/02/03(Sat) 22:26:44
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Re:
/ らすかる
引用
最短なのはAHを求めずに
AD^2-X^2=AB^2-(BD+X)^2
からX=1、よってBH=CHなのでAC=AB=7
だと思います。
No.48555 - 2018/02/03(Sat) 22:44:22
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Re:
/ 中三
引用
BH=CH=5を利用するのが最短ですね。
この場合AB²-AD²=BD・DCとなるのですが、これは二等辺三角形だから成り立つということでしょうか。
No.48559 - 2018/02/04(Sun) 07:55:39
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Re:
/ エンヴィー
引用
二等辺三角形だから成り立つのだと思います。二等辺三角形のときは常に成り立ち、そうでなければ常に成り立たない。証明を試みました。
△ABCにおいて、Dは辺BC上の頂点を含まない部分にあるとする。
△ABCがAB=ACの二等辺三角形であるならば、
余弦定理より、
AB^2-AD^2
=AB^2-(BD^2+AB^2-2AB*BDcosB)
=2AB*BDcosB-BD^2
=BD(2ABcosB-BD)
=BD(ABcosB+ABcosB-BD)
=BD(ABcosB+ACcosC-BD)
(∵AB=AC, B=C)
ここで、第一余弦定理より、
BC=ABcosB+ACcosC
だから、
(与式)=BD(BC-BD)
=BD*DC
AB^2-AD^2=BD*DCが成り立つならば、
AB^2-AD^2=BD(ABcosB+ABcosB-BD)
BD*DC=BD(ABcosB+ACcosC-BD)
だから、
ABcosB=ACcosC
ABcosB=ACcosCがAB=ACと同値であることより、
△ABCはAB=ACの二等辺三角形である。
ABcosB=ACcosCがAB=ACと同値であることの証明はとりあえず割愛しました。
No.48565 - 2018/02/04(Sun) 11:56:04
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Re:
/ 中三
引用
丁寧な解説をありがとうございます。
AB²-AD²=(AH²+BH²)-(AH²+DH²)=BH²-DH²=(BH+DH)(BH-DH)
ここでBH+DH=CH+DH=CD,BH-DH=BDであるから
AB²-AD²=BD・CD
∴二等辺三角形ABCの辺BC上にDがあるときAB²-AD²=BD・CDが成 り立つ
この逆をcosを用いて証明するなんて思いつきませんでした！
とても勉強になりました。
No.48574 - 2018/02/04(Sun) 17:52:56
