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記事No.48583に関するスレッドです
★ (No Subject) / 中三
この問題はどう解くのが最適でしょうか？
答えは?@6√7?A10√3となりました。(自分で解いたので誤りかもしれません)
No.48583 - 2018/02/04(Sun) 21:25:08
☆ Re: / らすかる
最適うんぬんはわかりませんが、とりあえず解きました。

AF=√{(10√3)^2+(20/6)^2}=20√7/3
AFとBI,CEとの交点をJ,Kとすると、メネラウスの定理により
AJ=(3/5)AF, AK=(3/4)AF
JK=AK-AJ=(3/20)AF=√7なので、周の長さは6JK=6√7

色を付けた部分の面積は
△ABC-3△ABJ-6△JBK
=△ABC-3(1/5)△ABC-6(1/20)△ABC
=(1/10)△ABC=(1/10)(10×10√3)=10√3
No.48587 - 2018/02/05(Mon) 00:25:55
☆ Re: / らすかる
特に簡単ではないですが、面積をもとに以下のような解き方もできますね。

AFとBI,CEの交点をJ,Kとし、それに続けて色の付いた部分の頂点を
反時計回りにL,M,N,Oとする。
直線JLとAB,BCの交点をP,QとするとPJ=JL=LQなので△JBC=2△LBC
また△JAB≡△LBC,△JAC≡△JBCだから△LBC=(1/5)△ABC
Lを通りBCに平行な直線とCJの交点をRとするとCR=RJ、△KLM=△KRMだから
四角形JKLM=△JKR=(1/2)△JKC
よって△ANO=△AJO=△BJK=△BLK=△CLM=△CNM=(1/2)六角形JKLMNOなので
四角形AJON=四角形BLKJ=四角形CNML=六角形JKLMNOとなり、
六角形JKLMNO={△ABC-3(1/5)△ABC}/4=(1/10)△ABC=(1/10)(10×10√3)=10√3

AF=√{(10√3)^2+(20/6)^2}=20√7/3
△BJK=(1/2)六角形JKLMNO=(1/20)△ABC=(1/20)(3△ABF)=(3/20)△ABFから
JK=(3/20)AF=√7なので(周の長さ)=6JK=6√7
No.48588 - 2018/02/05(Mon) 05:29:03
☆ Re: / 中三
ありがとうございました。
自分は周の長さを求めるのに平行線を引きまくって解いたので、とてもややこしくなってしまいました。
二つ目の面積をもとに考える方法が個人的にはしっくりきました！
No.48589 - 2018/02/05(Mon) 07:58:21
☆ Re: / らすかる
メネラウスの定理を使わず平行線で求めるなら以下のようになりますね。
平行線は2本で済みます。

AFとBI,CEとの交点をJ,Kとし、
Fを通りBIと平行な直線とACの交点をL、
Fを通りCEと平行な直線とABの交点をMとする。
△CLF∽△CIBからIL：LC=BF：FC=1：2
AI：IC=1：2なのでAI：IL：LC=3：2：4
よってAJ：JF=AI：IL=3：2なのでAJ=(3/5)AF
△BFM∽△BCEからEM：MB=CF：FB=2：1
AE：EB=2：1なのでAE：EM：MB=6：2：1
よってAK：KF=AE：EM=6：2=3：1なのでAK=(3/4)AF
AF=√{(10√3)^2+(20/6)^2}=20√7/3
JK=AK-AJ=(3/20)AF=√7なので、周の長さは6JK=6√7
No.48605 - 2018/02/06(Tue) 04:30:53