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記事No.48828に関するスレッドです
★ (No Subject) / 中３　IB
図形苦手で、よくわかりません。わかりやすい解説お願いします。１５０度　（２−√２） 6√2-4-π　/ 8
No.48828 - 2018/02/18(Sun) 17:50:25
☆ Re: / X
(1)
?@
点Oは線分ABと線分ABの垂直二等分線の
交点になります。
垂直二等分線の作図方法はよろしいですか？
また、条件から
△AODは正三角形
ですので点Dの作図方法は容易です。
後は条件から
直線OCが∠AODの二等分線
になっていることを使います。
角の二等分線の作図方法はよろしいですか？
?A
条件から∠ACDは鋭角でない方の∠AODに
対する円周角になっています。
ここで
∠AOD=60°
ですので
∠ACD=(1/2)×(360°-60°)
=150°
となります。

(2)
条件から点C,D,Eによって半円ABは4等分されていますので
∠AOC=∠COD=∠DOE=∠BOE=180°÷4=45°(A)
?@
(A)より
∠AOD=90°
又円周角により
∠ADB=90°
以上から△ABDは直角二等辺三角形
ですので
∠FAB=45°
更に
四角形ABEDは円に内接している (P)
ので
∠DEF=∠FAB=45°
これと(A)により
∠DEF=∠BOE (B)
又(P)により
∠OBE=∠EDF (C)
(B)(C)により
△DEF∽△BEO
よって
DE:OB=FD:BE
(A)より
DE=BE
ですので
BE:OB=FD:BE
FD=(BE^2)/OB
=BE^2 (D)
ということでここからはBEの長さを求めることを考えます。
今、点Eから線分ABに下ろした垂線の足をHとすると
△EHOは直角二等辺三角形
ですので
EH=OH=OE/√2=1/√2[cm]
BE=OB-OH=1-1/√2[cm]

よって△BEHにおいて三平方の定理により
BE^2=BE^2+EH^2
=(1-1/√2)^2+(1/√2)^2
=2-√2
これを(D)に代入して
FD=2-√2[cm]
となります。
(もっと簡単な方法があるかもしれません)

?A
弧DEと線分DEで囲まれた図形の面積をTとすると
T=(扇形DEOの面積)-(△DEOの面積)
=π×(OD^2)×∠DOE/360°-(△BEOの面積)
=π/8-(1/2)×BO×EH
=π/8-(1/4)√2[cm^2]
一方?@の過程から△BEOと△DEFの相似比は
BO:DE=BO:BE=1:√(2-√2)
よって△BEO,△DEFの面積をそれぞれU,Sと置くと
U:S=1^2:{√(2-√2)}^2
=1:(2-√2)
よって
S=(2-√2)U
=(2-√2)×(1/4)√2
=(1/2)(√2-1)[cm^2]
以上から
(求める面積)=S-T=(1/2)(√2-1)-{π/8-(1/4)√2}
=(3/4)√2-1/2-π/8[cm^2]
=(6√2-4-π)/8[cm^2]
となります。
No.48830 - 2018/02/18(Sun) 19:22:29
☆ Re: / らすかる
(2)?@
∠FAB=45°=∠EOBから△ABF∽△OBEなので△ABFはAB=AFの二等辺三角形です。
△ODAはOD=OA=1cmの直角二等辺三角形なのでAD=√2(cm)、
AF=AB=2(cm)なのでFD=AF-AD=2-√2(cm)となります。

?A
△OBEはOBを底辺とすると高さはOE/√2=√2/2(cm)なので面積は√2/4(cm)
△ABF∽△OBEで相似比は2：1なので面積比は4：1、よって
(求める面積)=△ABF-△OBE-△ODA-扇形OED
=3△OBE-ODA-扇形OED
=(3/4)√2-1/2-π/8
=(6√2-4-π)/8(cm^2)
No.48833 - 2018/02/18(Sun) 19:40:56
☆ Re: / 中３　IB
解説ありがとうございました。
No.48836 - 2018/02/18(Sun) 21:54:51