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記事No.48834に関するスレッドです
★ (No Subject) / あすか
xy平面上の曲線をx軸のまわりに回転してできる回転面の曲面積を求めよ。という問題で、画像の(2)の解き方が分かりません。
答えは、S=(12πa^2)/5となります。
お願いします。
No.48834 - 2018/02/18(Sun) 20:13:25
☆ Re: / らすかる
# もっと良い解き方があるかも知れません。

下の(0≦x≦a)は(3)（またはそれ以降）の条件と考えて無視します。

yについて整理すると y={a^(2/3)-x^(2/3)}^(3/2)
xで微分して整理すると y'=-{a^(2/3)・x^(-2/3)-1}^(1/2)
∴√(1+y'^2)=a^(1/3)・x^(-1/3)

(求める面積)=2∫[0〜a]2πy・√(1+y'^2)dx
=4πa^(1/3)∫[0〜a]{a^(2/3)-x^(2/3)}^(3/2)・x^(-1/3)dx
=6πa^(1/3)∫[0〜a^(2/3)]t^(3/2)dt　（a^(2/3)-x^(2/3)=tとおいた）
=6πa^(1/3)[(2/5)t^(5/2)][0〜a^(2/3)]
=12πa^2/5
No.48840 - 2018/02/19(Mon) 05:43:33
☆ Re: / あすか
授業で先生が解いた過程だと∴√(1+y'^2)=a^(1/3)・x^(-1/3)のところで∴√(1+y'^2)=a^(1/3)・|x|^(-1/3)のようにxが絶対値となっているのですが、これはなぜですか？また、絶対値だと計算方法も変わってきますか？
No.48841 - 2018/02/19(Mon) 09:19:57
☆ Re: / らすかる
-a≦x≦aなので何も断らなければ絶対値は必要ですね。
私の解答のままではちょっと問題があります。
私の解答の最初に
問題の曲線はy軸に関して対称なので
0＜x≦aの範囲を考えて2倍することにする。
を入れて考えて下さい。これで絶対値記号は不要になります。
絶対値を付けている場合も、結局積分するときに
範囲を0〜aにして絶対値を外すと思いますので、
最初から正の範囲にしておいた方が簡単でよいと思います。

# 絶対値があってもx=0のとき問題がありますから、
# 絶対値を付ければ済むということでもないと思います。
No.48844 - 2018/02/19(Mon) 11:35:03
☆ Re: / あすか
わかりました。
あと、
=4πa^(1/3)∫[0〜a]{a^(2/3)-x^(2/3)}^(3/2)・x^(-1/3)dx
から
=6πa^(1/3)∫[0〜a^(2/3)]t^(3/2)dt
の間の変形がよく分かりません。
No.48848 - 2018/02/19(Mon) 14:39:02
☆ Re: / らすかる
a^(2/3)-x^(2/3)=t とおくと
-(2/3)x^(-1/3)dx=dt
x^(-1/3)dx=-(3/2)dt
x=0→t=a^(2/3)
x=a→t=0
なので
4πa^(1/3)∫[0〜a]{a^(2/3)-x^(2/3)}^(3/2)・x^(-1/3)dx
=4πa^(1/3)∫[a^(2/3)〜0]t^(3/2)・(-3/2)dt
=4πa^(1/3)∫[0〜a^(2/3)]t^(3/2)・(3/2)dt
=6πa^(1/3)∫[0〜a^(2/3)]t^(3/2)dt
となりますね。
No.48849 - 2018/02/19(Mon) 14:58:42
☆ Re: / あすか
なるほど❗理解できました！
さっきの絶対値の話ですが、積分範囲を0〜aにしたら絶対値は外して計算できるのですか？
No.48850 - 2018/02/19(Mon) 16:09:26
☆ Re: / らすかる
積分範囲が0〜aならば0≦x≦aなので絶対値は外れますね。

# 勝手にa＞0と仮定してしまいましたが、もしaに条件がない場合は
# aに絶対値を付けるか、もしくはb=|a|とおくなどした方がよいかも知れません。
No.48851 - 2018/02/19(Mon) 17:52:44
☆ Re: / あすか
問題にa＞0と書いてありました！
すみません。
分かりやすく教えて下さりありがとうございました。
No.48853 - 2018/02/19(Mon) 18:26:00