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記事No.4902に関するスレッドです
★ (No Subject) / かなみ
xy平面上に原点を中心とする楕円Eがある。その長軸はx軸上にあり、長さ2a、短軸は長さ2bである(a＞b)。
E上の3点A(-a,0)、B(0,-b)、P(p,q)が作る△ABPの辺ABを底辺とする時の高さをp,qで表すと【ア】であるから、△ABPの面積をSとすると、S=【イ】である。したがって、Sは(p,q)=(【ウ】,【エ】)のときに最大であり、最大値は【オ】である。

直線ABはbx+ay+b=0だということと
点と直線の距離の公式で点Pから直線ABまでの距離は
|bp+aq+b|/√(a^2+b^2)
だということまで分るのですが、高さをp,qで表すのが分りません。
その後もよく分らないので、教えて下さい。
No.4886 - 2009/01/26(Mon) 19:56:17
☆ Re: / angel
先に指摘しますと、直線ABは bx+ay+ab=0 です。
そのため、AB・P間の距離は |bp+aq+ab|/√(a^2+b^2) です。

ここまで分かっていれば、これはそのまま「高さ」です。
つまり
　S=1/2×AB×(AB・P間の距離)
　S=1/2×AB×(ABを底辺とした時の△ABPの高さ)
この2つの表現は同等なのです。

後は、S を最大にする p,q をどう求めるか、です。
添付の図にあるように、「ABに平行な直線と楕円の接点がPとなる時、S最大」と考えます。( 接点となるのは2箇所ですが、一方はハズレです )

ABに平行でPを通る直線は、bx+ay=bp+aq ですから、これと楕円が接する、と考えるなら、
　bx+ay=bp+aq
　x^2/a^2+y^2/b^2=1
の連立方程式が重解を持つ、という攻め方になります。

逆に、P上の接線が px/a^2+qy/b^2=1 となることを利用すれば、px/a^2+qy/b^2=1 と AB：bx+ay+ab=0 が平行と考えて、
　p/a^2・a = q/b^2・b
　p^2/a^2+q^2/b^2 = 1 ( ∵(p,q)は楕円上にあるから )
という方程式を解いても良いです。

どちらでも結果は同じです。
No.4900 - 2009/01/27(Tue) 14:04:59
☆ Re: / angel
申し訳ありません。
添付した図で、Bの位置が逆でした。本来は x 軸より下になります。上下逆として考えていただければ、と思います。

さて、余談ですが、楕円 x^2/a^2+y^2/b^2=1 というのは、円 x^2+y^2=1 を、x軸方向にa倍、y軸方向にb倍した図形です。

であれば、添付の図を x軸方向に a倍、y軸方向に b倍した状況、というのが、本問題での「S最大」の状況です。
※拡大して円が楕円になっても、「接している」等の状況は変わらないため。
a倍、b倍により、面積は ab倍になりますので、(p,q)=(√2/2・a, √2/2・b) の時 Sは最大値 (1+√2)/2・ab を取るということが分かります。
答え合わせに使えますね。
No.4902 - 2009/01/27(Tue) 14:51:11