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記事No.49105に関するスレッドです
★ ベクトル / 高2
1.2番はどうとくんですか？？
よければ解説お願いします。
No.49105 - 2018/03/04(Sun) 10:53:49
☆ Re: ベクトル / X
(1)
条件から、点P,Q,Rはそれぞれ
辺AB,BC,CAの中点ですので
↑OP=(↑OA+↑OB)/2 (A)
↑OQ=(↑OB+↑OC)/2 (B)
↑OR=(↑OC+↑OA)/2 (C)
(A)(B)(C)を
2↑OP+k↑OQ+3↑OR=↑0 (D)
に代入すると
2(↑OA+↑OB)/2+k(↑OB+↑OC)/2+3(↑OC+↑OA)/2=↑0
これより
2(↑OA+↑OB)+k(↑OB+↑OC)+3(↑OC+↑OA)=↑0
5↑OA=-(k+2)↑OB-(k+3)↑OC
∴↑OA={-(k+2)↑OB-(k+3)↑OC}/5

(2)
(i)
条件から
|↑OA|=|↑OB|=|↑OC|≠0 (E)
さて(1)の結果から
|↑OA|^2=|{-(k+2)↑OB-(k+3)↑OC}/5|^2 (F)
ここで↑OB⊥↑OCより
↑OB・↑OC=0 (G)
に注意して(F)を整理すると
|↑OA|^2={(1/25)(k+2)^2}|↑OB|^2+{(1/25)(k+3)^2}|↑OC|^2
更に(E)を用いると
1=(1/25)(k+2)^2+(1/25)(k+3)^2
条件からk＞0に注意してこれをkの方程式として解き
k=1

(ii)
(i)と(1)の結果により
↑OA=-(3↑OB+4↑OC)/5 (G)
(E)より
|↑OA|=|↑OB|=|↑OC|=R
と置くと(G)(H)により
↑OA・↑OB=-(3/5)R^2
↑OA・↑OC=-(4/5)R^2
∴
cos∠AOB=↑OA・↑OB/R^2=-3/5
cos∠COA=↑OA・↑OC/R^2=-4/5
よって
S=(△OABの面積)+(△OBCの面積)+(△OCAの面積)
=(1/2)OA・OBsin∠AOB+(1/2)OB・OCsin∠BOC+(1/2)OC・ABsin∠COA
=(1/2)(R^2)√{1-(cos∠AOB)^2}+(1/2)R^2+(1/2)(R^2)√{1-(cos∠COA)^2}
=(6/5)(R^2)
T=πR^2
となるので
T/S=5π/6
No.49115 - 2018/03/04(Sun) 17:24:45