こんにちは。
問題文
aを自然数、bを素数とする。方程式x³+ax²-5x+b＝0
の解のひとつが整数のとき、a,bの値とこの方程式の解を求めよ。
の解法をお願いしたいです。
答えは添付画像です。
|
No.49147 - 2018/03/07(Wed) 18:49:38
| ☆ Re: / らすかる | | | 解の一つがbのとき
x^3+ax^2-5x+b=(x-b)(x^2+(a+b)x+ab+b^2-5)+b(ab+b^2-4)から
ab+b^2-4=0すなわちa=4/b-b
4を割り切る素数は2だけだが、b=2のときa=0となり不適。
解の一つが1のとき
x^3+ax^2-5x+b=(x-1)(x^2+(a+1)x+a-4)+a+b-4から
a+b-4=0すなわちa=4-b
このとき条件を満たす組は(a,b)=(1,3),(2,2) … (1)
解の一つが-1のとき
x^3+ax^2-5x+b=(x+1)(x^2+(a-1)x-a-4)+a+b+4から
a+b+4=0すなわちa=-b-4
bは素数なのでaが負となり不適。
解の一つが-bのとき
x^3+ax^2-5x+b=(x+b)(x^2+(a-b)x-ab+b^2-5)+b(ab-b^2+6)から
ab-b^2+6=0すなわちa=b-6/b
6を割り切る素数は2と3で、b=2のときa=-1で不適、b=3のときa=1で(1)に含まれる。
よって条件を満たす組は(a,b)=(1,3),(2,2)の2組で、
(a,b)=(1,3)のときx^3+ax^2-5x+b=x^3+x^2-5x+3=(x-1)^2(x+3)=0からx=1,-3
(a,b)=(2,2)のときx^3+ax^2-5x+b=x^3+2x^2-5x+2=(x-1)(x^2+3x-2)=0からx=1,(-3±√17)/2
|
No.49149 - 2018/03/07(Wed) 19:49:13 |
| ☆ Re: / IT | | | (別解)
整数解の１つをcとすると
元の方程式は,x^3+ax^2-5x+b=(x-c)(x^2+dx+e)=0 …(A) とおける。
係数を比較し b=-ce…?@,-5=e-cd…?A,a=d-c…?B
a,cは整数なので?Bよりdは整数,よって?Aよりeは整数。
bは素数なので,?@より (c,e)=(1,-b),(-1,b),(b,-1),(-b,1).
(c,e)=(1,-b)のとき
?Aより -5=-b-d, b=5-d.
?Bより a=d-1,d=a+1 よってdは2以上の整数.
bは素数なので (b,d)=(2,3),(3,2).
(b,d)=(2,3)のとき, (a,b)=(2,2)で (c,d,e)=(1,3,-2),(A)は (x-1)(x^2+3x-2)=0…(1) となる.
(b,d)=(3,2)のとき, (a,b)=(1,3)で (c,d,e)=(1,2,-3),(A)は (x-1)(x^2+2x-3)=0…(2) となる.
(c,e)=(-1,b)のとき
?Aより -5=b+d…?A’
?Bより a=d+1,d=a-1
?A'に代入 -5=b+a-1 右辺は正となり不適。
(c,e)=(b,-1)のとき
?Aより -5=-1-bd、bd=4,bは素数なのでb=2,d=2.
?Bより a=2-2=0 となり不適.
(c,e)=(-b,1)のとき
?Aより -5=1+bd,bd=-6,bは素数なので(b,d)=(2,-3),(3,-2)
?Bより a=d+b これが自然数なので (b,d)=(3,-2)
(a,b)=(1,3)となる これは(2)と同じ.
|
No.49150 - 2018/03/07(Wed) 20:47:36 |
| ☆ Re: / IT | | | （別解２） らすかるさんの解と同系統だと思います。
f(x)=x^3+ax^2-5x+b とおく。
cを整数解の１つとすると c(c^2+ac-5)=-b でaは自然数なので cはbの約数。
bは素数なので,c=1,-1,b,-b.
c=1 のとき f(1)=0 よって,1+a-5+b=0,a+b=4
aは自然数bは素数なので (a,b)=(1,3),(2,2)
(a,b)=(1,3) のとき f(x)=x^3+x^2-5x+3=(x-1)(x^2+2x-3)=((x-1)^2)(x+3) …(1)
(a,b)=(2,2) のとき f(x)=x^3+2x^2-5x+2=(x-1)(x^2+3x-2)…(2)
c=-1 のとき f(-1)=0 よって,-1+a+5+b=0,a+b+4=0,a,bは自然数なので不適。
c=b のとき f(b)=0 よって b^3+ab^2-5b+b=0,b^2+ab-4=0,b(b+a)=4,bは2以上,b+aは3以上なので不適。
c=-b のとき f(-b)=0 よって -b^3+ab^2+5b+b=0,b^2-ab-6=0,b(b-a)=6
bは素数,aは自然数なのでb=3,a=1 これは(1) と同じ。
|
No.49152 - 2018/03/07(Wed) 22:40:51 |
|
