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記事No.49159に関するスレッドです
★ 対称性の問題 / Kazakh
解き方がわかりません。よろしくお願いします
No.49159 - 2018/03/08(Thu) 13:08:31
☆ Re: 対称性の問題 / らすかる
「半径rの球面上に4点A,B,C,Dがある。四面体ABCDの各辺の長さは」で検索すると
いくつか解答が出てきますが、↓このあたりが簡単で良いかと思います。
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q13127382753
No.49160 - 2018/03/08(Thu) 14:04:44
☆ Re: 対称性の問題 / RYO
＜別解＞

辺ABの中点をM、辺CDの中点をNとおく。
このとき、CB＝CA(＝2)よりCM⊥ABであるから、△ACMについて三平方の定理を適用し、
　CM＝√(AC^2-AM^2)　(∵CM＞0)
　　 ＝(√13)/2
また、△ABC≡△ABDよりMC＝MDなので、MN⊥CDである。そこで、△MCNについて三平方の定理を適用し、
　MN＝√(CM^2-CN^2)　(∵MN＞0)
　　 ＝3/2

ここで、四面体ABCDは△CDMを含む面に関して対称なので、球面の中心Oは△CDM内に存在する。
さらに、C,Dはいずれも球面上の点であり、点Oからの距離が等しいので、点Oは線分CDの垂直二等分線上に存在する。
以上より、点Oは線分MN上にあるといえる。

また、OC＝OD(＝r),OA＝OB(＝r)よりON⊥CD,OM⊥ABである。

そこで、ON＝x(0＜x＜3/2)とおき、△OCNと△OAMについてそれぞれ三平方の定理を適用すると、
　OC^2＝ON^2+CN^2
⇔r^2＝x^2+1　…?@
　OA^2＝OM^2+AM^2
⇔r^2＝(3/2-x)^2+{(√3)/2)}^2
　　 ＝x^2-3x+3　…?A
?@-?Aより
　3x-2＝0
⇔x＝2/3
これを?@に代入して、
　r^2＝13/9
よって、
　r＝(√13)/3　(∵r＞0)　…答
No.49161 - 2018/03/08(Thu) 14:16:27