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No.49164 - 2018/03/08(Thu) 22:21:06
| ☆ Re: 図形の問題 / X | | | (1)
方針を。
条件から△APQ,△APRは
∠APQ=∠APR=π/2
の直角三角形ですので
PQ=PR=t√3 (A)
又、△AQRは正三角形ですので
QR=2t (B)
(A)(B)を使い、△PQRに余弦定理を適用し
まずcos∠QPRを求めます。
その上で
(sin∠QPR)^2+(cos∠QPR)^2=1
を用いてsin∠QPRを求めます。
求める半径は△PQRの外接円の半径ですので
△PQRにおいて正弦定理を適用します。
(2)
(1)の過程から△BPQ,△BPRは
∠BPQ=∠BPR=π/2
の直角三角形ですので円周角により
△BPQ,△BPRの外接円の中心は
それぞれ辺BQ,BRの中点です。
そこでこれらをそれぞれL,Mとおくと
↑AL=(↑AB+↑AQ)/2={↑AB+(2t/6)↑AC}/2
=(1/2)↑AB+(t/6)↑AC (B)
↑AM=(↑AB+↑AR)/2={↑AB+(2t/6)↑AD}/2
=(1/2)↑AB+(t/6)↑AD (C)
さて、正四面体ABCDにおいて各頂点から相対する
面に下ろした垂線の足は相対する面である
正三角形の重心。
∴△BPQ,△BPRに対する垂線の方向ベクトル
をそれぞれ↑v,↑wとすると
↑v=(↑DA+↑DB+↑DC)/3
=(↑AB+↑AC)/3-↑AD (D)
↑w=(↑CA+↑CB+↑CD)/3
=(↑AB+↑AD)/3-↑AC (E)
更に四面体BPQRの外接球の中心をTとすると
↑AT=↑AL+x↑v=↑AM+y↑w (F)
(x,yは実数)
(D)(E)(F)より
↑AT=(1/2)↑AB+(t/6)↑AC+x{(↑AB+↑AC)/3-↑AD}
=(1/2)↑AB+(t/6)↑AD+y{(↑AB+↑AD)/3-↑AC}
整理をして
↑AT=(1/2+x/3)↑AB+(t/6+x/3)↑AC-x↑AD
=(1/2+y/3)↑AB-y↑AC+(t/6+y/3)↑AD (G)
ここで
↑AB,↑AC,↑ADは互いに↑0ではなく
又
↑AB,↑AC,↑ADは互いに平行ではなく
かつ
↑AB,↑AC,↑ADは同一平面内に存在しません。
よって、(D)において中辺、右辺の
↑AB,↑AC,↑ADの係数を比較する
ことができ
1/2+x/3=1/2+y/3 (H)
t/6+x/3=-y (I)
t/6+y/3=-x (J)
(H)(I)(J)を連立して解き
(x,y)=(-t/8,-t/8)
これと(G)により
↑AT=(1/2-t/24)↑AB+(t/8)↑AC+(t/8)↑AD
よって正四面体BPQRの外接円の半径の二乗をzとすると
z=|↑BT|^2=|↑AT-↑AB|^2
=|↑AT|^2-2↑AT・↑AB+|↑AB|^2
=|(1/2-t/24)↑AB+(t/8)↑AC+(t/8)↑AD|^2-2((1/2-t/24)↑AB+(t/8)↑AC+(t/8)↑AD)・↑AB+|↑AB|^2 (K)
条件から
|↑AB|=|↑AC|=|↑AD|^=6
↑AB・↑AC=↑AC・↑AD=↑AD・↑AB
=|↑AB||↑AC|cos∠BAC
=6・6・cos(π/3)
=18
となることに注意して(K)を展開して整理をすると
z=(11/8)t^2-3t+9
=(11/8)(t-12/11)^2+81/11 (K)'
横軸にt,縦軸にzを取った(K)'のグラフを
0＜t≦3
の範囲で描くことにより、zの最小値は
81/11
よって求める半径の最小値は
9/√11
となります。
((K)と(K)'の間の計算が煩雑です。
もっと簡単な方法があるかもしれません。)
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No.49171 - 2018/03/09(Fri) 09:25:38 |
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