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記事No.49188に関するスレッドです
★ ぐうきの問題が苦手で、 / m
すみません。ここまで解答は行ったのですが、それからがよくわからなくて教えていただきたいです
No.49187 - 2018/03/10(Sat) 17:30:50
☆ Re: ぐうきの問題が苦手で、 / m
これが自分の解答です。（ちなみに探索です。
No.49188 - 2018/03/10(Sat) 17:31:36
☆ Re: ぐうきの問題が苦手で、 / m
探索ではなく添削
No.49189 - 2018/03/10(Sat) 17:32:33
☆ Re: ぐうきの問題が苦手で、 / X
(1)
過程が間違っています。
例えばnがoddのとき
a[n+1]=a[n] (A)
は成立しますが、だからと言って
a[n]=a[n-1] (B)
は成立しません。
((A)の左辺の添え字であるn+1はevenですが
(B)左辺の添え字であるnはoddですので。)
nがevenのときも同様です。

これは以下のように解きます。

nがodd,evenいずれのときにおいても
与えられた二つの漸化式の和を取ると
a[n+1]+b[n+1]=2{a[n]+b[n]} (A)
つまり、{a[n]+b[n]}の漸化式である
(A)はnの偶奇によらず成立します。
∴a[n]+b[n]={a[1]+b[1]}2^(n-1)
=2^n

(2)
mとnを混同してしまっています。
確かに2m-1は奇数ですが、このとき成立するのは
a[2m-1]=a[2m]
です。
従って
c[m+1]=c[m]
は成立しません。

これは以下のように解きます。
前半)
条件から
a[2m+1]=a[2m] (C)
b[2m+1]=a[2m]+2b[2m] (D)
a[2m]=2a[2m-1]+b[2m-1] (E)
b[2m]=b[2m-1] (F)
(C)(E)より
a[2m+1]=2a[2m-1]+b[2m-1] (C)'
ここで(1)の結果により
a[2m-1]+b[2m-1]=2^(2m-1) (G)
(C)'(G)により
a[2m+1]=a[2m-1]+2^(2m-1)
∴c[m+1]=c[m]+2^(2m-1)
後半)
c[1]=a[1]=1
に注意して前半の結果の漸化式を解き、
a[2m-1](=c[m])
を求めます。
後は条件から
a[2m]=a[2m-1]
ですのでa[2m]も求められます。

(3)
これはヒントだけ。
まず(1)(2)の結果を使って
b[2m-1],b[2m]
を求めましょう。
No.49192 - 2018/03/10(Sat) 20:10:10
☆ Re: ぐうきの問題が苦手で、 / m
わかりました！！ありがとうございます！
No.49193 - 2018/03/10(Sat) 23:46:10
☆ Re: ぐうきの問題が苦手で、 / X
もう見ていないかもしれませんが、ごめんなさい。
(2)において漸化式の適用を間違えていました。
比較のため、改めて(2)の方針をアップしておきます。

(2)
mとnを混同してしまっています。
確かに2m-1は奇数ですが、このとき成立するのは
a[2m]=a[2m-1]
です。
従って
c[m+1]=c[m]
は成立しません。

これは以下のように解きます。
前半)
条件から
a[2m]=a[2m-1] (C)
b[2m]=a[2m-1]+2b[2m-1] (D)
a[2m+1]=2a[2m]+b[2m] (E)
b[2m+1]=b[2m] (F)
ここで(1)の結果により
a[2m]+b[2m]=2^(2m)
∴b[2m]=2^(2m)-a[2m]
これを(E)に代入すると
a[2m+1]=a[2m]+2^(2m)
更に(C)を代入して
a[2m+1]=a[2m-1]+2^(2m)
よって、求める漸化式は
c[m+1]=c[m]+4^m

後半)
c[1]=a[1]=1
に注意して前半の結果の漸化式を解き、
a[2m-1](=c[m])
を求めます。
後はこの結果を(C)に代入すれば
a[2m]も求められます。
No.49212 - 2018/03/12(Mon) 20:06:08