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記事No.49456に関するスレッドです
★ 円と放物線の位置関係 / 春休み中の新高2です
下の図の状況のように、円と放物線が接するのは3回あると思います。ここで放物線の式を変形してx^2=k-y (円の式から-2<y<2)とし、
円の方程式に代入します。そして出来たyについての2次方程式の判別式をDとして、D=0の時はすなわち2次方程式の解が1つ、つまり下図で交点のy座標がただ１つのときだと考えました。この考え方でいくと?A?BもD=0を満たすはずですが答えは?@の時ののみでした。なぜですか？
No.49455 - 2018/03/26(Mon) 21:47:03
☆ Re: 円と放物線の位置関係 / 春休み中の新高2です
入れ忘れました
No.49456 - 2018/03/26(Mon) 21:48:15
☆ Re: 円と放物線の位置関係 / X
?@?Bの場合は接点における共通接線が
x軸平行になるからです。
yについての二次方程式を考えているので
x軸平行の共通接線に関する条件は導出できません。
No.49465 - 2018/03/26(Mon) 22:14:19
☆ Re: 円と放物線の位置関係 / 春休み中の新高2です
どういうことですか？
No.49468 - 2018/03/26(Mon) 23:41:34
☆ Re: 円と放物線の位置関係 / X
例えば円
x^2+y^2=1 (A)
の接線の方程式を求めるときに
解の判別式を用いる方針を使う場合
求める接線の方程式を
y=ax+b (B)
又は
x=cy+d (C)
と置いて(A)に代入して
(B)の場合はyを消去してxの二次方程式((B)'とします)を
(C)の場合はxを消去してyの二次方程式((C)'とします)を
導くことはよろしいですか？

このとき(B)ではy軸平行の直線を表すことができません。
∴(B)'ではy軸平行の接線(つまり直線x=1,x=-1)
に対する条件は導出できません。
同様に(C)'ではx軸平行の接線(つまり直線y=1,y=-1)
に対する条件は導出できません。
これらのことと同じことです。
No.49470 - 2018/03/27(Tue) 05:35:38
☆ Re: 円と放物線の位置関係 / X
ちなみに、
x^2+y^2=4 (P)
y=x^2+k
からyを消去して得られるxの4次方程式
x^2+(x^2+k)^2=4
が重解をもつという条件を考えると
(微分を使わなければならないので
過程は省略しますが)この場合は
?@?A?B全ての場合が導出できます。
(これは?@?A?Bと(P)との接点における
共通接線にy軸平行のものが含まれていない
ことに対応しています。)
No.49471 - 2018/03/27(Tue) 06:04:41