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記事No.49747に関するスレッドです
★ (2)を教えてください / kei
画像の問題についてです。

[b1 b2 c]のランクが[b1 b2]のランクに等しいことが解を持つ条件だと思うのですが
(b1 b2)x = cの両辺にt^(b1 b2)をかけると

t^(b1 b2)(b1 b2)x = t^(b1 b2)c

(b1・b1 b1・b2) x
(b2・b1 b2・b2)
=
(b1・c)
(b2・c)

(|b1|^2 0 ) x
(0 |b2|^2)
=
(b1・c)
(b2・c)

x =
(|b1|^2b1・c)
(|b2|^2b2・c)
/
(|b1|^2 |b2|^2)

ここで・は標準内積とした。

これではcがどんな列ベクトルでも解が存在するような気がします。
どこか計算間違いがあればご指摘おねがいします。
No.49746 - 2018/04/16(Mon) 22:38:11
☆ Re: (2)を教えてください / kei
画像の添付ミスのため
No.49747 - 2018/04/16(Mon) 22:41:16
☆ Re: (2)を教えてください / Delta
今回の場合、左から転置行列をかけると行列のサイズが2×2になったり、右辺の列ベクトルの次元が2になったりと全体の次元が小さくなる場合があります。
次元が小さくなるとその分、xの条件も緩くなるので元々の方程式では解とならないものも解として出現することがあります。

なので回答としては
[b1 b2 c]のランクが[b1 b2]のランクに等しいときは
c=αb1+βb2 を満たす実数α,βが存在する(1次従属)のでこのとき、x=(α,β)^T (Tは転置)が解となり、
[b1 b2 c]のランクが[b1 b2]のランクに等しくないときは
c=αb1+βb2+γb3 (b3はb1,b2と独立なベクトル)とすることで解が存在しないことが言えると思います。
No.49749 - 2018/04/17(Tue) 00:08:28
☆ Re: (2)を教えてください / kei
理解できました。ありがとうございます。
No.49750 - 2018/04/17(Tue) 06:43:00