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記事No.49791に関するスレッドです
★ (No Subject) / 東大夢見る浪人生
(1)からわかりません。
ベクトルは苦手なので、詳しく解答解説お願いします。
No.49791 - 2018/04/19(Thu) 18:23:45
☆ Re: / ヨッシー
(1)
ＯＦ＝ＯＢ＋ＢＦ において、
　ＢＥ＝ＯＣ
　ＢＦ＝(2/3)ＢＥ＝(2/3)ＯＣ
以上より
　ＯＦ＝ｂ＋(2/3)ｃ

ＯＧ＝ＯＣ＋ＣＧ　において
　ＣＤ＝ＯＡ
　ＣＧ＝(2/3)ＣＤ＝(2/3)ＯＡ
以上より
　ＯＧ＝ｃ＋(2/3)ａ

(2)
ＰがＦＧをｔ：(1−t) に内分する点とすると
　ＯＰ＝(1−t)ＯＦ＋ｔＯＧ
　　　＝(1−t){ｂ＋(2/3)ｃ}＋ｔ{ｃ＋(2/3)ａ}
　　　＝(2t/3)ａ＋(1−t)ｂ＋(2/3＋t/3)ｃ　　　　・・・(i)
また、点Ｐは３点Ｏ，Ｄ，Ｅを通る平面上にあるので、ｒ，ｓを実数として
　ＯＰ＝ｒＯＤ＋ｓＯＥ
の形に書けます。
　ＯＤ＝ａ＋ｃ
　ＯＥ＝ｂ＋ｃ
より、
　ＯＰ＝ｒ(ａ＋ｃ)＋ｓ(ｂ＋ｃ)
　　　＝ｒａ＋ｓｂ＋(ｓ＋ｒ)ｃ　　　　・・・(ii)
(i)(ii) が同じ点Ｐを表しているとき、ａ、ｂ、ｃ は一次独立なので、
係数を比較して、
　2t/3＝ｒ、1−t＝ｓ、2/3＋t/3＝ｓ＋ｒ
これらを解いて
　2/3＋t/3＝1−t＋2t/3
　2t/3＝1/3
　ｔ＝1/2
よって、(i) より
　ＯＰ＝(1/3)ａ＋(1/2)ｂ＋(5/6)ｃ

(3)
cos∠ＡＯＢ＝2/3＝ＯＢ/ＯＡ より ∠ＯＢＡ＝90°であり、
四角形ＡＢＥＤは、ＯＢに垂直とわかります。
よって、ＰＱは四角形ＡＢＥＤに平行な平面に含まれる形になります。
点Ｐを通って、四角形ＡＢＥＤに平行な平面がＰＱを含む平面であり、
この平面とＯＢの交点が点Ｑとなります。また、この平面はＧＤの中点Ｈを通り、
ＯＱ：ＱＢ＝ＣＨ：ＨＤ＝５：１　より
　ＯＱ＝(5/6)ｂ
となります。
　ＱＰ＝ＯＰ−ＯＱ＝{(1/3)ａ＋(1/2)ｂ＋(5/6)ｃ}−(5/6)ｂ
　　　＝(1/3)ａ−(1/3)ｂ＋(5/6)ｃ
あらかじめ、ａ・ｂ＝３・２・(2/3)＝４、ａ・ｃ＝ｂ・ｃ＝０ を確認しておいて、
　|ＱＰ|^2＝(1/9)|ａ|^2＋(1/9)|ｂ|^2＋(25/36)|ｃ|^2−(2/9)ａ・ｂ
　　　＝１＋4/9＋25/9−8/9＝10/3
よって、ＰＱ＝√30/3
No.49792 - 2018/04/19(Thu) 19:16:38