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記事No.49941に関するスレッドです
★
微分・積分
/ 自習自習自習
引用
さっぱり、わかりません。
解答をお願いします。
No.49941 - 2018/04/26(Thu) 18:41:37
☆
Re: 微分・積分
/ X
引用
(1)
条件から
f'(x)=3x^2-12x+9
∴lの方程式は
y=(3t^2-12t+9)(x-t)+t^3-6t^2+9t
整理をして
y=(3t^2-12t+9)x-2t^3+6t^2
(2)
方針は二つあります。
方針1)
h(x)=g(x)-f(x)
と置いてh'(x)を求め、
0≦x≦2 (A)
におけるh(x)の増減表を書きます。
その上で
((A)におけるh(x)の最小値)≧0
を示します。
方針2)
g(x)≧f(x)
をxの不等式として解き、その解となるxの値の範囲に
0≦x≦2
が含まれていることを示します。
(3)
条件と(1)(2)の結果により
S(t)=∫[0→t]{(3t^2-12t+9)x-2t^3+6t^2-(x^3-6x^2+9x)}dx
=∫[0→t]{(3t^2-12t)x-2t^3+6t^2-(x^3-6x^2)}dx
=(3t^2-12t)∫[0→t]xdx+(-2t^3+6t^2)∫[0→t]dx
-∫[0→t](x^3-6x^2)dx
=(1/2)(3t^4-12t^3)+(-2t^4+6t^3)
-∫[0→t](x^3-6x^2)dx
=-(1/2)t^4-∫[0→t](x^3-6x^2)dx
=-(3/4)t^4+2t^3
これを
S(t)=1
に代入し、整理をして
3t^4-8t^3+4=0 (A)
ここで
F(t)=3t^4-8t^3+4
と置くと
F'(t)=12t^3-24t^2
=12(t-2)t^2
∴0＜t＜2においてF'(t)＞0ゆえ
F(t)は単調減少 (B)
更に
F(0)=4＞0 (C)
F(1)=-1＜0 (D)
(B)(C)(D)と中間値の定理により
(A)は0＜t＜1においてのみ、ただ一つの実数解をもつ
ので問題の命題は成立します。
No.49956 - 2018/04/26(Thu) 21:00:19
