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記事No.50103に関するスレッドです
★ (No Subject) / がんばる
宿題でわかりません
できれば記述も分かりやすくお願いします
数学苦手なので
No.50103 - 2018/05/05(Sat) 21:06:17
☆ Re: / X
(1)
△ACDについて余弦定理により
AC^2=AD^2+CD^2-2AD・CDcos∠ADC
∴条件から
AC^2=AD^2+4^2-2AD・4・(1/4) (A)
一方、△ABCについて余弦定理により
AC^2=AB^2+BC^2-2AB・BCcos∠ABC
これより
AC^2=AB^2+BC^2-2AB・BCcos(π-∠ADC)
((∵)四角形ABCDは円に内接)
AC^2=AB^2+BC^2+2AB・BCcos∠ADC
∴条件から
AC^2=2^2+3^2+2・2・3・(1/4) (B)
(A)(B)をAC,ADについての連立方程式として解きます。

(2)
∠BAC=α
と置いて、(1)の過程と同様に、
△ABD,△BCDにおいて余弦定理を適用し、
BD,cosαについての連立方程式を立てます。
但し、∠BDC=π-αとなることに注意します。

(3)
(sinθ)^2+(cosθ)^2=1
により
(sinθ)^2+(1/4)^2=1
∴sinθ＞0により
sinθ=(√15)/4
よって
sin∠ABC=sin(π-θ)
=sinθ=(√15)/4
以上と条件から、まず△ABC,△ACD
の面積を求めて和を取ります。
No.50109 - 2018/05/05(Sat) 21:46:04
☆ Re: / ヨッシー
途中、別解があります。


(1)
∠ＡＢＣ＝π−θ　より　cos∠ＡＢＣ＝−cosθ＝−1/4
△ＡＢＣにおける余弦定理より
　ＡＣ^2＝ＡＢ^2＋ＢＣ^2−２ＡＢ・ＢＣcos∠ＡＢＣ
　　　＝４＋９＋３＝１６
よって　ＡＣ＝４　　・・・答え

ＡＤ＝ｘとすると、△ＡＣＤにおける余弦定理より
　ＡＣ^2＝ＡＤ^2＋ＣＤ^2−２ＡＤＣＤcosθ
　１６＝ｘ^2＋１６−２ｘ
これを ｘ＞０ の範囲で解いて、　ｘ＝２　・・・答え
(2)
△ＡＣＤにおける正弦定理より、外接円の半径をＲとすると、
　２Ｒ＝ＡＣ/sinθ＝４/(√15/4)＝16/√15
よって、　Ｒ＝8/√15
△ＡＢＤは二等辺三角形であり、∠ＡＤＢ＝∠ＡＢＤ＝φ とおくと
△ＡＢＤにおける正弦定理より
　ＡＤ/sinφ＝２Ｒ
　sinφ＝ＡＤ/２Ｒ＝2/(16/√15)＝√15/8
これより　cosφ＝7/8
ＢＤの中点をＭとすると、△ＡＢＭは直角三角形であり、
　cosφ＝ＢＭ/ＡＢ
より
　ＢＭ＝ＡＢcosφ＝２(7/8)＝7/4
よって、ＢＤ＝7/4×２＝7/2　・・・答え
(3)
　Ｓ＝△ＡＤＣ＋△ＡＢＣ
　　＝(1/2)ＡＤ・ＤＣsinθ＋(1/2)ＡＢ・ＢＣsin(π−θ)
　　＝(1/2)2・4(√15/4)＋(1/2)2・3(√15/4)
　　＝√15＋(3/4)√15＝7√15/4　・・・答え
No.50113 - 2018/05/05(Sat) 21:55:08