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記事No.50156に関するスレッドです
★
(No Subject)
/ aibo
引用
解き方を教えてください。よろしくお願いします。
No.50156 - 2018/05/07(Mon) 13:00:42
☆
Re:
/ らすかる
引用
(1)
z+1/z=2cosθを整理して z^2-(2cosθ)z+1=0
この二次方程式を解いて z=cosθ±isinθ
(2)
n=1のとき成り立つ。
n=2のときz^2+1/z^2=(cosθ±isinθ)^2+(cosθ干isinθ)^2
=2{(cosθ)^2-(sinθ)^2}=2cos2θとなり成り立つ。
n=k,n=k+1のとき成り立つとすると
z^k+1/z^k=2coskθ, z^(k+1)+1/z^(k+1)=2cos(k+1)θ
z^(k+2)+1/z^(k+2)={z^(k+1)+1/z^(k+1)}(z+1/z)-(z^k+1/z^k)
=2cos(k+1)θ・2cosθ-2coskθ
=2cos(k+1)θcosθ+2cos(k+1)θcosθ-2coskθ
=2cos(k+1)θcosθ+2(coskθcosθ-sinkθsinθ)cosθ-2coskθ
=2cos(k+1)θcosθ+2coskθ(cosθ)^2-2sinkθsinθcosθ-2coskθ
=2cos(k+1)θcosθ+2coskθ{(cosθ)^2-1}-2sinkθsinθcosθ
=2cos(k+1)θcosθ-2coskθ(sinθ)^2-2sinkθsinθcosθ
=2cos(k+1)θcosθ-2sinθ(coskθsinθ+sinkθcosθ)
=2cos(k+1)θcosθ-2sinθsin(k+1)θ
=2cos(k+2)θ
となりn=k+2のときも成り立つ。
よって任意の自然数nで成り立つ。
No.50157 - 2018/05/07(Mon) 14:50:09
☆
Re:
/ IT
引用
(2) は、ド・モアブルの定理 (cosθ+isinθ)^n=cos(nθ)+isin(nθ) を使うと簡単にできます。
（簡単すぎますので、何かの勘違いかも知れません。）
No.50160 - 2018/05/07(Mon) 19:17:27
☆
Re:
/ aibo
引用
詳しい解説、ありがとうございました。
No.50163 - 2018/05/07(Mon) 20:06:26
☆
Re:
/ らすかる
引用
> ド・モアブルの定理
ド・モアブルの定理を使うと一瞬なので
ド・モアブルの定理は未習と判断しました。
No.50172 - 2018/05/08(Tue) 05:26:20
