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記事No.50201に関するスレッドです
★ (No Subject) / A
解き方を教えてください。お願いします。
No.50201 - 2018/05/09(Wed) 20:18:45
☆ Re: / X
f[1](x)=2 (A)
f[n+1](x)=2∫[0→1](3x-t)f[n](t)dt (B)
とします。

(B)より
f[n+1](x)=6x∫[0→1]f[n](t)dt-2∫[0→1]tf[n](t)dt
∴
a[n]=∫[0→1]f[n](t)dt (C)
b[n]=∫[0→1]tf[n](t)dt (D)
と置くと
f[n+1](x)=6a[n]x-2b[n]
となるので
f[n](x)=6a[n-1]x-2b[n-1] (n≧2)(E)
(C)(D)に(E)を代入し、積分を計算すると
a[n]=3a[n-1]-2b[n-1] (C)'
b[n]=2a[n-1]x-b[n-1] (D)'
又(A)(C)(D)により
a[1]=2 (F)
b[2]=1 (G)
(F)(G)の下でa[n],b[n]の連立漸化式(C)(D)を
解くことを考えます。

(C)'-(D)'より
a[n]-b[n]=a[n-1]-a[n-1]
∴a[n]-b[n]=a[1]-b[1]=1
となるので
b[n]=a[n]-1 (H)
(H)と(C)'により
a[n]=3a[n-1]-2(a[n-1]-1)
これより
a[n]=a[n-1]+2
∴{a[n]}は公差2の等差数列ですので
a[n]=a[1]+2(n-1)
=2n
これを(H)に代入して
b[n]=2n-1
これらと(E)から
f[n](x)=6・2(n-1)x-2{2(n-1)-1}
=12(n-1)x-4n+6 (n≧2)
これはn=1のときも成立します。

以上から
f[n](x)=12(n-1)x-4n+6
となります。
No.50202 - 2018/05/09(Wed) 21:16:39
☆ Re: / A
ありがとうございます。助かりました。
No.50206 - 2018/05/10(Thu) 13:38:04