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記事No.50207に関するスレッドです
★ (No Subject) / aibo
複素数平面の問題です。どうやって解けば良いのでしょうか。
No.50207 - 2018/05/10(Thu) 19:53:18
☆ Re: / ヨッシー
ｚ＝ｘ＋ｙｉ　（ｘ，ｙは実数）と置きます。
条件より
　ｚ＋1/z＝ｘ＋ｙｉ＋1/(ｘ＋ｙｉ)
　　＝ｘ＋ｙｉ＋(ｘ−ｙｉ)/(ｘ^2＋ｙ^2)
　　＝ｘ＋ｘ/(ｘ^2＋ｙ^2)＋{ｙ−ｙ/(ｘ^2＋ｙ^2)}ｉ
これが実数となるには、虚部が０になればいいので、
　ｙ＝ｙ/(ｘ^2＋ｙ^2)
ｙ＝０ のときは、明らかに成り立ちます。
ｙ≠０ のとき、両辺ｙで割って
　１＝１/(ｘ^2＋ｙ^2)
　ｘ^2＋ｙ^2＝１
このとき、
　ｚ＋1/z＝２ｘ　・・・実数
となります。
以上より、ｚはｘ軸上と単位円上の点。
No.50208 - 2018/05/10(Thu) 20:01:09
☆ Re: / aibo
ありがとうございます。
No.50212 - 2018/05/10(Thu) 21:23:15
☆ Re: / noname
次のように考えてもよいです．
____________________________

複素数wが実数であるための条件は，wとその共役複素数w'が等しいことである．このことを用いると，

「z+1/zは実数」
⇔「z+1/z＝z'+1/z'」
⇔「z^2z'+z'＝z(z')^2+zかつz≠0」
⇔「z|z|^2+z'＝z'|z|^2+zかつz≠0」
⇔「(|z|^2-1)(z-z')＝0かつz≠0」
⇔「『|z|^2＝1またはz＝z'』かつz≠0」
⇔「『|z|＝1またはz：実数』かつz≠0」

の様に言い換えが出来る．よって，条件を満たす複素数zが動き得る図形は

「原点が中心の単位円の周」または「実軸から原点を除いたもの」

である．
No.50213 - 2018/05/10(Thu) 21:30:19
☆ Re: / IT
（別解) 極形式で考える
zの偏角をθとする。
z+1/z=|z|(cosθ+isinθ)+(1/|z|)(cos(-θ)+isin(-θ))が実数
⇔　(|z|-1/|z|)sinθ= 0
⇔　|z|≠0かつ(|z|-1/|z|=0 or sinθ=0)
No.50216 - 2018/05/10(Thu) 23:13:30