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記事No.50221に関するスレッドです
★ 数１　展開 / りゅう
いつもお世話になります。
（１）と（２）の両方とも解答は分かっておりますが、
どのようにして展開して良いのか全く分からないので、
教えていただけますでしょうか？
よろしくお願い致します。
No.50221 - 2018/05/11(Fri) 11:12:43
☆ Re: 数１　展開 / ヨッシー
(a+b)(c+d)(e+f) の展開は１つ目、２つ目、３つ目のカッコから
１個ずつ文字を選ぶ選び方を書き並べて、
　a・c・e　a・c・f　a・d・e　a・d・f
　b・c・e　b・c・f　b・d・e　b・d・f
これを＋でつないで
　ace＋acf＋ade＋adf＋bce＋bcf＋bde＋bdf

同様に
　(x-b)(x-c)(b-c) は
　x・x・b　x・x・(-c) x・(-c)・b　x・(-c)・(-c)
　(-b)・x・b　(-b)・x・(-c)　(-b)・(-c)・b　(-b)・(-c)・(-c)
なので
　bx^2−cx^2−bcx＋c^2x−b^2x＋bcx＋b^2c−bc^2

もちろん、順々に
　(x-b)(x-c)(b-c)＝(x^2-bx-cx+bc)(b-c)
　　　＝b(x^2-bx-cx+bc)−c(x^2-bx-cx+bc)
　　　＝bx^2−b^2x−bcx＋b^2c−cx^2＋bcx＋c^2x−bc^2
としても構いません。

プラスマイナスで０になるものを消して、
　(x-b)(x-c)(b-c)＝bx^2−cx^2＋c^2x−b^2x＋b^2c−bc^2
この式の b を c に、c を a に変えたものが　(x-c)(x-a)(c-a) なので
　(x-c)(x-a)(c-a)＝cx^2−ax^2＋a^2x−c^2x＋c^2a−ca^2
さらに、c を a に、a を b に変えたものが　(x-a)(x-b)(a-b) なので
　(x-a)(x-b)(a-b)＝ax^2−bx^2＋b^2x−a^2x＋a^2b−ab^2

すべて足して、０になるものを消していくと
　bx^2−cx^2＋c^2x−b^2x＋b^2c−bc^2
+cx^2−ax^2＋a^2x−c^2x＋c^2a−ca^2
+ax^2−bx^2＋b^2x−a^2x＋a^2b−ab^2
＝＋b^2c−bc^2＋c^2a−ca^2＋a^2b−ab^2

となります。

(2)
　(x+y+2z)^3＝(x+y)^3＋3(x+y)^2・2z＋3(x+y)(2z)^2＋(2z)^3
　　＝x^3＋3x^2y＋3xy^2＋y^3＋6x^2z＋12xyz＋6y^2z＋12xz^2＋12yz^2＋8z^3　・・・(i)
(i) の x を −x に変えると　(y+2z-x)^3 になるので
　(y+2z-x)^3＝−x^3＋3x^2y−3xy^2＋y^3＋6x^2z−12xyz＋6y^2z−12xz^2＋12yz^2＋8z^3
(i) の y を −y に変えると　(2z+x-y)^3 になるので
　(2z+x-y)^3＝x^3−3x^2y＋3xy^2−y^3＋6x^2z−12xyz＋6y^2z＋12xz^2−12yz^2＋8z^3
(i) の z を −z に変えると　(x+y-2z)^3 になるので
　(x+y-2z)^3＝x^3＋3x^2y＋3xy^2＋y^3−6x^2z−12xyz−6y^2z＋12xz^2＋12yz^2−8z^3
下の３式は符号を変えて全部足すと
　＋x^3＋3x^2y＋3xy^2＋y^3＋6x^2z＋12xyz＋6y^2z＋12xz^2＋12yz^2＋8z^3
　＋x^3−3x^2y＋3xy^2−y^3−6x^2z＋12xyz−6y^2z＋12xz^2−12yz^2−8z^3
　−x^3＋3x^2y−3xy^2＋y^3−6x^2z＋12xyz−6y^2z−12xz^2＋12yz^2−8z^3
　−x^3−3x^2y−3xy^2−y^3＋6x^2z＋12xyz＋6y^2z−12xz^2−12yz^2＋8z^3
縦に同類項が並ぶので、プラスマイナスで０になるものは消していくと
　＋x^3＋3x^2y＋3xy^2＋y^3＋6x^2z＋12xyz＋6y^2z＋12xz^2＋12yz^2＋8z^3
　＋x^3−3x^2y＋3xy^2−y^3−6x^2z＋12xyz−6y^2z＋12xz^2−12yz^2−8z^3
　−x^3＋3x^2y−3xy^2＋y^3−6x^2z＋12xyz−6y^2z−12xz^2＋12yz^2−8z^3
　−x^3−3x^2y−3xy^2−y^3＋6x^2z＋12xyz＋6y^2z−12xz^2−12yz^2＋8z^3
太字の部分だけ残るので、
　48xyz
No.50228 - 2018/05/11(Fri) 13:49:10
☆ Re: 数１　展開 / りゅう
とても詳しく教えていただいたおかげで、とてもよく分かりました。
計算が複雑で頭の中が混乱してしまったのですが、
丁寧に計算していかないといけないのがよく分かりました。
本当にありがとうございました。
No.50230 - 2018/05/11(Fri) 14:14:47
☆ Re: 数１　展開 / IT
（２）は、変に工夫するよりヨッシーさんの素朴な解法が確実で良いと思いますが
下記のようにする方法もあります。

t=2z とおくと
与式＝(x+y+t)^3-(y+t-x)^3-(t+x-y)^3-(x+y-t)^3 ＃x,y,tについて対称
＝x^3+3(y+t)x^2+3((y+t)^2)x+(y+t)^3
-{(-x)^3+3(y+t)x^2+3((y+t)^2)(-x)+(y+t)^3}
-{x^3+3(-y+t)x^2+3((-y+t)^2)x+(-y+t)^3}
-{x^3+3(y-t)x^2+3((y-t)^2)x+(y-t)^3}
x^3とx^2の係数とxがない項は0になり
xの係数は　3(y+t)^2+3(y+t)^2-3(-y+t)^2-3(y-t)^2=3(2yt+2yt+2yt+2yt)=24yt=48yz

よって与式＝48xyz
No.50232 - 2018/05/11(Fri) 22:05:28
☆ Re: 数１　展開 / IT
(1) 別解
f(x)=(x-b)(x-c)(b-c)+(x-c)(x-a)(c-a)+(x-a)(x-b)(a-b) とおくと

f(a)=(a-b)(a-c)(b-c)=-(a-b)(b-c)(c-a)
f(b)=(b-c)(b-a)(c-a)=-(a-b)(b-c)(c-a)
f(c)=(c-a)(c-b)(a-b)=-(a-b)(b-c)(c-a)

f(x) はxについて高々２次式である。
a,b,cを互いに異なる数と考えたとき　f(a)=f(b)=f(c)=-(a-b)(b-c)(c-a) となるので
f(x)は定数関数で任意のxについて　f(x)=-(a-b)(b-c)(c-a) である。＃
すなわち　与式=-(a-b)(b-c)(c-a)

＃もう少し説明が要るかも知れません。
No.50233 - 2018/05/11(Fri) 22:30:38
☆ Re: 数１　展開 / Kenji
ストレートにやってみました。
(1)
一般に(x-P)(y-Q)(P-Q)={x^2-(P+Q)x+PQ}(P-Q)=(P-Q)x^2-(P+Q)x+PQ(P-Q)
であるから
(x-b)(x-c)(b-c)=(b-c)x^2-(b^2-c^2)x+bc(b-c)
(x-c)(x-a)(c-a)=(c-a)x^2-(c^2-a^2)x+ca(c-a)
(x-a)(x-b)(a-b)=(a-b)x^2-(a^2-b^2)x+ab(a-b)
これらを辺々加えると
(与式)
=bc(b+c)+ca(c+a)+ab(a-b)
=b^2c-bc^2+c^2a-ca^2+a^2b-ab^2

(2)
(与式)
=(x+y+2z)^3-(y+2z-x)^3-(2z+x-y)^3-(x+y-2z)^3
=(x+y+2z)^3+(x-y-2z)^3+(-x+y-2z)^3+(-x-y+2z)^3
={x+(y+2z)}^3+{x-(y+2z)}^3+{(-x)+(y-2z)}^3+{(-x)-(y-2z)}^3
={2x^3+6x(y+2z)^2}+{2(-x)^3+6(-x)(y-2z)^2}
（∵一般に(A+B)^3+(A-B)^3=2A^3+6AB^2）
=6x{(y+2z)^2-(y-2z)^2}
=6x(2y)(4z)}
=48xyz
No.50248 - 2018/05/12(Sat) 18:16:43