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記事No.50364に関するスレッドです
★ 練習問題 / 学習
1/a+1/b+1/c<1を満たす自然数a,b,cの組に対し1/a+1/b+1/cの最大値を求めよという問題で（１）のアまではわかるのですがイからb>=4だから1/b<=1/4,a>=5だから1/a<=1/5として計算していること
（２）c>=3の時の計算に至ってはいきなりＳ＜＝1/4+1/3+1/3と出てきていますよね？なぜイと特に（２）でそのようにしてよいのか判断基準がわかりません

回答よろしくお願いします
No.50364 - 2018/05/15(Tue) 16:11:13
☆ Re: 練習問題 / ヨッシー
b≧4 だから 1/b≦1/4　や　a≧5 だから 1/a≦1/5 となるのは自然なことですが．．．
それをいうなら、(ア)でも、a≧7 だから 1/a≦1/7 を使っています。

Ｓを大きくしようとすれば、ａ，ｂ，ｃ は小さい方が良いわけです。
(ii) の ｃ≧３ のときは、(a,b,c)＝(4,3,3) のときの
　Ｓ＝1/4＋1/3＋1/3 と比べて、
　ｃが４以上になると、最大でも　Ｓ＝1/4＋1/4＋1/4 にしかなりません。
　ｃ＝３ で、ｂが４以上になると　Ｓ＝1/4＋1/4＋1/3 が最大です。
　ｃ＝３，ｂ＝３ で、ａが５以上だと　Ｓ＝1/5＋1/3＋1/3 が最大となり、
いずれも、Ｓ＝1/4＋1/3＋1/3 より小さいので、ｃ≧３ においては、
　Ｓ＝1/4＋1/3＋1/3＝11/12
が最大となります。

　Ｓ＝1/4＋1/3＋1/3
　Ｓ＝1/4＋1/4＋1/4
　Ｓ＝1/4＋1/4＋1/3
　Ｓ＝1/5＋1/3＋1/3
と並べても、明らかに一番上が大きいので、ここまで細かい説明はしていないものと思われます。
No.50368 - 2018/05/15(Tue) 18:24:48
☆ Re: 練習問題 / 学習
b≧4 だから 1/b≦1/4　や　a≧5 だから 1/a≦1/5 となるのはわかっています。
疑問に思っているのは最初はc=2かつb=3のときのように具体的な数を代入して確かめていたのにｃ＞＝３では具体的な数の代入なしに答えを出しているという部分でした。
１ではc=2かつb=3の時という風に具体的に代入することでa>=7という条件を出していますよね
ただ２では１/c<=1/3から分母は小さいほうが分数は大きいっていう考えのもと1/b<=1/3,1/a<=1/4でＳ＜＝１１/１２と出しています。例えばこれと同じように１でc>=2の時のように調べたら1/bは1/2以下だったらSは１を超えちゃうから1/3として1/cは1/4以下で計算してみるとSは11/12以下か と
でも１だと場合分けの結果a>=7という条件が出てるのでこれが間違いだとわかりますが２だと代入なしにやっているのでなぜc>=３の時にいきなり考えてしまって大丈夫なのかその部分がわかりません

文章で書くのが難しくくどい質問になってしまって申し訳ありません。　回答よろしくおねがいします
No.50414 - 2018/05/16(Wed) 13:45:50
☆ Re: 練習問題 / ヨッシー
この問題については「具体的な数を代入して確かめ」ないといけないレベルではありません。

　1/2＋1/2＝1
　1/6＋1/3＋1/2＝1
　1/3＋1/3＋1/3＝1
この程度の計算は、すぐに思い浮かぶことであり、、
　ｃ＝２　のときは　ｂ≧３ でないとダメだし
　ｃ＝２、ｂ＝３　のときは　ａ≧７　でないとダメだし
　ｃ＝３、ｂ＝３　のときは　ａ≧４　でないとダメなのは
すぐに分かります。

その意味では、
　ｃ＝２　のとき　Ｓ＜１　より　ｂ≧３　であることは自明である
でも良いのです。

それを、?Eより・・・　とか、?Fより・・・　とか書いて詳細に示しているのは、
自明のレベルを低く見積もったからでしょう。
実際、ｃ≧３ のところでは、いちいち計算はしていません。

むしろ、この解答で、注目すべきは
　ｃ＝２　のときは　（ア）（イ）と調べているのに、
　ｃ＝３　のときは　1/4＋1/3＋1/3＝11/12 だけで終わっている点です。
その方が気になりませんか？
そして、(ii) の方が (i) よりも、淡白に扱われているように感じるのかと思います。
結果、「(i) はわざわざ代入しているのに」というところに疑問を持たれたのではないでしょうか？
No.50415 - 2018/05/16(Wed) 15:09:30
☆ Re: 練習問題 / 学習
なるほどつまり１で丁寧に解説してくれているだけで本来は２の解答で良いということですね。理解できました。ありがとうございます
No.50419 - 2018/05/16(Wed) 17:58:22
☆ Re: 練習問題 / 学習
もう一つ疑問ができてしまいました。繰り返しの質問で申し訳ありません。おおむね納得できたのですがそれならばc=2のときc>=3のときといちいち分けずともまとめてc>=2よりで解答は事足りてしまうのではないでしょうか？
c=2のときc>=3のときと場合分けをしなくてはならない理由は何でしょうか？
No.50420 - 2018/05/16(Wed) 18:06:59