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記事No.50365に関するスレッドです
★ 理系数学 / トメダイン
この問題の解法が分からないので教えていただけると幸いです
（今日中に教えてください、提出が明日なので）
No.50365 - 2018/05/15(Tue) 17:48:51
☆ Re: 理系数学 / X
題意を満たすことは、xの三次方程式
x^3-3ax+6b=0 (A)
x^3-3bx+6a=0 (B)
がただ一つの共通の実数解を持つときの
a,bに対する条件を求めることと同値です。

(A)-(B)より
-3(a-b)x+6(b-a)=0
(a-b)(x+2)=0
題意からa-b≠0ゆえ
x=-2
これを(A)(B)に代入してそれぞれ
整理すると、いずれも
a+b=4/3 (C)
逆にこのとき(C)を使って(A)(B)からbを消去すると
x^3-3ax+8-6a=0 (A)'
x^3-(4-3a)x+6a=0 (B)'
(A)'より
x^3+8-3ax-6a=0
(x+2)(x^2-2x+4)-3a(x+2)=0
(x+2)(x^2-2x+4-3a)=0
∴x=-2
又は
x^2-2x-3a+4=0 (A)"
(B)'より
x^3-(4-3a)x+6a=0
x^3-4x+3ax+6a=0
(x^2-4)x-3a(x+2)=0
(x+2){(x-2)x-3a}=0
∴x=-2
又は
x^2-2x-3a=0 (B)"
さて(A)"-(B)"を計算すると
4=0
となり矛盾しますので、xの二次方程式
(A)"(B)"の共通解は存在しません。

以上から題意を満たすときC[1],C[2]の
x軸上の共有点は
点(2,0)
以外に存在せず、その時のa,bの条件は
a+b=4/3 (D)
(但し(a,b)≠(2/3,2/3))
となります。

図示は容易です(直線(D)から点(2/3,2/3)を除いたもの)
ですので省略します。

(間違っていたらごめんなさい。)
No.50376 - 2018/05/15(Tue) 20:38:13
☆ Re: 理系数学 / IT
既に回答がついているようですがせっかく書いたので投稿します。
(略解） グラフを描いて理解し答案作成してください。
f(x)=x^3-3ax+6b
g(x)=x^3-3bx+6a　とおく。

a≠bのとき
　f(α)=g(α)=0とすると　f(α)-g(α)=0 から-3(a-b)(α+2)=0
　∴α=-2 , f(-2)=-8+6a+6b=0
　よって 求める条件は a+b-4/3=0

a＝bのとき　f(x)=x^3-3ax+6a=0 の実数解がただ１つであればよい。
　f'(x)=3x^2-3a.
　a≦0のとき　f(x)は狭義単調増加で　f(x)=0の実数解はただ１つとなる。
　a＞0のとき　f(x)の極大値はf(-√a)>0,極小値はf(√a)=2a(3-√a)
　　　　　　　f(x)=0の実数解がただ1つ⇔2a(3-√a)＞0⇔0＜a＜9

上記をまとめると範囲が分かります。
No.50382 - 2018/05/15(Tue) 20:58:13
☆ Re: 理系数学 / X
補足を。

＞＞トメダインさんへ
ITさんの回答とは異なり、私の回答では
a=b
の場合は除いていますが、これは問題文中の
２曲線
という言葉の解釈の違いによります。

私は、「２曲線」と書かれているので
C[1],C[2]は一致しない曲線である、
と解釈して
a=b
の場合は除いています。
No.50391 - 2018/05/15(Tue) 22:50:32